2. Zadatak

Neka novi pravilni mnogokut ima $m$ vrhova. Moguća su dva slučaja:

1. slučaj.

Novi mnogokut leži izvan danog mnogokuta. Drugim riječima, $m$-terokut i $n$-terokut nalaze se sa suprotnih strana pravca $A_2A_3$.

Tada vrijedi $\angle BA_2A_3+\angle A_1A_2A_3+60^\circ=360^\circ$.

Unutarnji kut pravilnog $k$-terokuta iznosi $\frac{k-2}{k}\cdot180^\circ$ pa imamo:

$$\frac{n-2}{n}\cdot180^\circ+\frac{m-2}{m}\cdot180^\circ+60^\circ=360^\circ$$ $$3m(n-2)+3n(m-2)+mn=6mn$$ $$mn-6m=6n$$ $$m=\frac{6n}{n-6}=6+\frac{36}{n-6}.$$

Očito mora biti $n-6\in\mathbb{N}$ i $n-6$ dijeli $36$.

Provjerom svih mogućnosti:

$n-6$	$1$	$2$	$3$	$4$	$6$	$9$	$12$	$18$	$36$
$n$	$7$	$8$	$9$	$10$	$12$	$15$	$18$	$24$	$42$
$m$	$42$	$24$	$18$	$15$	$12$	$10$	$9$	$8$	$7$

nalazimo devet rješenja.

2. slučaj.

Promatrani $m$-terokut i $n$-terokut se nalaze s iste strane pravca $A_2A_3$.

U ovom slučaju vrijedi $\angle BA_2A_3=\angle A_1A_2A_3+60^\circ$

$$\frac{m-2}{m}\cdot180^\circ=60^\circ+\frac{n-2}{n}\cdot180^\circ$$ $$3n(m-2)=mn+3m(n-2)$$ $$6n+nm=6m$$ $$n=\frac{6m}{m+6}=6-\frac{36}{m+6}.$$

Kako mora biti $n\ge3$, nužno $\frac{36}{m+6}$ mora biti u skupu $\{1,2,3\}$.

Tada je:

$m+6$	$36$	$18$	$12$
$m$	$30$	$12$	$6$
$n$	$5$	$4$	$3$

pa smo dobili još tri rješenja.

Dakle, uvjete zadatka ispunjavaju $n\in\{3,4,5,7,8,9,10,12,15,18,24,42\}$.