3. Zadatak

Izrazimo iz danih jednadžbi $a$ i $d$ pomoću $b$ i $c$:

$$a=c-b,\qquad d=2c-a=b+c.$$

Vrijedi

$$abcd=(c-b)\cdot b\cdot c\cdot(b+c) =bc(c^2-b^2)=\frac12(2bc)(c^2-b^2).$$

Kako su $b$ i $c$ prirodni brojevi i $c>b$ (jer je $c-b=a>0$) vidimo da je $c^2-b^2>0$. Stoga je $abcd$ površina pravokutnog trokuta s katetama duljina $2bc$ i $c^2-b^2$. Duljina hipotenuze tog trokuta je

$$\sqrt{(2bc)^2+(c^2-b^2)^2}=\sqrt{c^4+b^4+2b^2c^2}=b^2+c^2.$$

Kako su $b$ i $c$ prirodni brojevi i $c>b$, duljine svih triju stranica,

$$2bc,\qquad c^2-b^2,\qquad b^2+c^2$$

su prirodni brojevi.