1. Zadatak

Uočimo da vrijedi

$$x^{\log y}=10^{\log x\log y}=10^{\log y\log x}=y^{\log x}.$$

Prvu jednadžbu možemo zapisati kao

$$y^{\log x}+\sqrt{y^{\log x}}-110=0.$$

Koristeći supstituciju $t=\sqrt{y^{\log x}}$ imamo kvadratnu jednadžbu $t^2+t-110=0$.

Rješenja te kvadratne jednadžbe su $t_1=-11$, $t_2=10$. Kako mora vrijediti $t>0$, jedino rješenje je $t=10$.

Iz $\sqrt{y^{\log x}}=10$ slijedi $y^{\log x}=100$. Logaritmiranjem imamo $\log x\log y=\log100=2$.

Logaritmiranjem druge jednadžbe imamo $\log x+\log y=\log1000=3$.

Slijedi $\log x=3-\log y$, pa uvrštavanjem u prethodnu jednadžbu imamo $(3-\log y)\log y=2$, odnosno $-(\log y)^2+3\log y-2=0$.

Uz supstituciju $u=\log y$ imamo kvadratnu jednadžbu $-u^2+3u-2=0$. Rješenja te kvadratne jednadžbe su $u_1=1$, $u_2=2$.

Uvrštavanjem imamo:

• $\log y=1$: $y=10$, $\log x=3-\log y=2$, $x=100$
• $\log y=2$: $y=100$, $\log x=3-\log y=1$, $x=10$.

Prema tome, rješenja su $(x,y)=(10,100)$ i $(x,y)=(100,10)$.