5. Zadatak

Promotrimo prvo podjelu skupa $\{1,2,\ldots,n\}$ na $k=2$ skupa. Kako ti skupovi moraju biti jednakobrojni, nužno je da je $n$ paran.

Za $n=2$ takva podjela je moguća ($\{1\}$ i $\{2\}$ očito zadovoljavaju uvjete zadatka). Za $n=4$ nužno je da se brojevi jednake parnosti nalaze u istom skupu kako bi aritmetička sredina bila prirodan broj, no jedina takva podjela (na skupove $\{1,3\}$ i $\{2,4\}$) ne zadovoljava uvjete zadatka.

Ako je $n$ oblika $n=2(2m+1)$, u prvi skup možemo staviti prvih $2m+1$ prirodnih brojeva, a u drugi skup preostalih $2m+1$ prirodnih brojeva. Aritmetičke sredine elemenata tih skupova su

$$\frac1{2m+1}(1+2+\cdots+(2m+1)) =\frac{(2m+1)(2m+2)}{2(2m+1)}=m+1,$$

te

$$\begin{aligned} &\frac1{2m+1}((2m+2)+(2m+3)+\cdots+(4m+2))\\ &=(2m+1)+\frac1{2m+1}(1+2+\cdots+(2m+1))\\ &=3m+2, \end{aligned}$$

te se one zaista nalaze u odgovarajućim skupovima.

Preostalo je provjeriti brojeve oblika $n=4m$, za neki prirodan broj $m\geq2$. Definirajmo jedan skup kao

$$\{2,3,\ldots,2m-1,2m,3m+1\},$$

a u drugi skup smjestimo preostale brojeve.

Aritmetička sredina elemenata gore definiranog skupa je

$$\begin{aligned} &\frac1{2m}(2+3+\cdots+2m-1+2m+3m+1)\\ &=\frac1{2m}\left(\frac{(2m)(2m+1)}2-1+(3m+1)\right)\\ &=\frac{2m^2+m+3m}{2m}\\ &=m+2. \end{aligned}$$

To je očito prirodan broj. On se nalazi u skupu jer vrijedi $2\leq m+2\leq2m$ za sve $m\geq2$.

Analogno se izračuna da je aritmetička sredina drugog skupa jednaka $3m-1$, te se taj broj zaista nalazi u drugom skupu (jer je $3m-1\geq2m+1$).

Pogledajmo sada podjelu skupa $\{1,2,\ldots,n\}$ na $k=3$ skupa. Kako su ti skupovi jednakobrojni, nužno je $n$ djeljiv s $3$, odnosno $n=3m$.

Pretpostavimo da za neki $n=3m$ postoji gore opisana podjela, te neka su $a_1$, $a_2$ i $a_3$ aritmetičke sredine tih triju skupova. Tada brojevi $m\cdot a_1$, $m\cdot a_2$ i $m\cdot a_3$ predstavljaju sume elemenata tih skupova, pa je

$$m\cdot(a_1+a_2+a_3)$$

suma svih elemenata tih triju skupova.

S druge strane, znamo da je suma elemenata svih triju skupova jednaka

$$1+2+\cdots+3m=\frac{(3m)(3m+1)}2.$$

Zato zaključujemo da je broj

$$a_1+a_2+a_3=\frac{(3m)(3m+1)}{2m}=\frac{3(3m+1)}2$$

prirodan broj kao suma tri prirodne aritmetičke sredine. Taj broj bit će prirodan ako i samo ako je $m$ neparan.

Dakle, jedini slučaj kada skup prvih $n$ prirodnih brojeva možemo podijeliti na $3$ skupa opisanim na način u tekstu zadatka je ako je $n$ oblika $3(2l-1)$, za prirodan broj $l$.

U tom slučaju podjela jest moguća: u prvi skup smjestimo prvih $(2l-1)$ prirodnih brojeva, u drugi sljedećih $(2l-1)$ brojeva, te u treći skup preostale brojeve.

Aritmetičke sredine elemenata tih skupova iznose

$$a_1=\frac{(2l-1)(2l)}{2(2l-1)}=l, \qquad a_2=(2l-1)+l=3l-1, \qquad a_3=2(2l-1)+l=5l-2.$$

To su sve prirodni brojevi koji se nalaze u odgovarajućim skupovima.

Konačno zaključujemo: podjela na dva jednakobrojna skupa sa svojstvima iz teksta zadatka moguća je za sve parne prirodne brojeve $n$ različite od $4$, dok je podjela na tri jednakobrojna skupa moguća za sve prirodne brojeve oblika $n=3(2l-1)$, gdje je $l$ prirodan broj.