2. Zadatak

Zbog uvjeta $\alpha,\beta\in\left\langle0,\frac\pi2\right\rangle$ slijedi da su sve vrijednosti $\cos\alpha$, $\cos\beta$, $\sin\alpha$, $\sin\beta$, $\operatorname{tg}\alpha$, $\operatorname{ctg}\beta$ pozitivni realni brojevi.

Izraz na desnoj strani nejednakosti može se zapisati na sljedeći način:

$$\sqrt{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta} =\sqrt{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\sin\beta}{\cos\beta}} =\sqrt{\frac{\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha}{\cos\alpha\cos\beta}}.$$

U brojniku razlomka možemo primijeniti adicijsku formulu:

$$\sqrt{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta} =\sqrt{\frac{\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha}{\cos\alpha\cos\beta}} =\sqrt{\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}}.$$

Kako je sinus svakog broja manji ili jednak od $1$, imamo

$$\sqrt{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta} =\sqrt{\frac{\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha}{\cos\alpha\cos\beta}} =\sqrt{\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}} \leq\sqrt{\frac1{\cos\alpha\cos\beta}}.$$

Zato je dovoljno pokazati da vrijedi

$$\frac1{\cos\alpha}+\frac1{\cos\beta}\geq2\sqrt{\frac1{\cos\alpha\cos\beta}}.$$

Kvadriranjem ćemo dobiti ekvivalentnu nejednakost jer su obje strane nejednakosti pozitivne.

$$\frac1{\cos^2\alpha}+\frac2{\cos\alpha\cos\beta}+\frac1{\cos^2\beta} \geq\frac4{\cos\alpha\cos\beta}.$$

Prebacivanjem izraza na jednu stranu nejednakosti i uočavanjem kvadrata binoma, dobivamo ekvivalentnu nejednakost

$$\left(\frac1{\cos\alpha}-\frac1{\cos\beta}\right)^2\geq0,$$

koja očito vrijedi, čime je nejednakost dokazana.

Jednakost će vrijediti kada vrijede obje jednakosti u gornjim nejednakostima: $\sin(\alpha+\beta)=1$ i $\cos\alpha=\cos\beta$. Iz druge jednakosti slijedi $\alpha=\beta$, a zajedno s prvom zaključujemo da se jednakost postiže ako i samo ako je $\alpha=\beta=\frac\pi4$.

Napomena: Nejednakost

$$\frac1{\cos\alpha}+\frac1{\cos\beta}\geq2\sqrt{\frac1{\cos\alpha\cos\beta}}$$

iz gornjeg rješenja može se dokazati i direktnom primjenom nejednakosti između aritmetičke i geometrijske sredine za (pozitivne) brojeve $\frac1{\cos\alpha}$ i $\frac1{\cos\beta}$.