3. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $S$ polovište dužine $MB$.

U pravokutnom trokutu $MDB$ točka $S$ je središte opisane kružnice budući da je polovište hipotenuze. Posebno, iz poučka o obodnom i središnjem kutu vrijedi

$$\angle MSD=2\cdot\angle MBD=\angle CBA.$$

Posebno, pravci $SD$ i $CB$ su paralelni.

Prema Talesovom poučku, vrijedi

$$\frac{|AD|}{|DC|}=\frac{|AS|}{|SB|}.$$

Dodatno, prema poučku o simetrali kuta, vrijedi

$$\frac{|AB|}{|BC|}=\frac{|AD|}{|DC|}.$$

Kako je $S$ polovište dužine $MB$, a $M$ polovište dužine $AB$, točka $S$ dijeli dužinu $AB$ u omjeru $3:1$.

Zato zaključujemo

$$\frac{|AB|}{|BC|}=\frac{|AD|}{|DC|}=\frac{|AS|}{|SB|}=3,$$

odnosno $|AB|=3|BC|$, što je i trebalo dokazati.

Drugo rješenje.

Označimo s $\beta$ kut $\angle CBA$. Neka je $N$ polovište dužine $AC$. Dužina $MN$ je srednjica trokuta $ABC$, odnosno paralelna je s $BC$.

Slijedi da je $\angle BMN=180^\circ-\beta$.

Kako je trokut $BDM$ pravokutan, $\angle BMD=90^\circ-\angle DBM=90^\circ-\frac\beta2$.

Sada vidimo da je $\angle BMD$ jednak polovici vrijednosti kuta $\angle BMN$, pa je pravac $DM$ simetrala kuta $\angle BMN$.

Prema poučku o vanjskoj simetrali kuta $\angle AMN$ vrijedi

$$\frac{|DN|}{|DA|}=\frac{|MN|}{|MA|}.$$

Budući da je $MN$ srednjica trokuta $ABC$, vrijedi

$$\frac{|MN|}{|MA|}=\frac{|BC|}{|BA|}.$$

Prema poučku o unutarnjoj simetrali kuta $\angle ABC$ vrijedi

$$\frac{|BC|}{|BA|}=\frac{|CD|}{|DA|}.$$

Sada računamo

$$\frac{|DN|}{|DA|}=\frac{|MN|}{|MA|}=\frac{|BC|}{|BA|}=\frac{|CD|}{|DA|},$$

odnosno $|DN|=|CD|$.

Kako je $D$ polovište dužine $NC$, a $N$ polovište dužine $AC$, točka $D$ dijeli dužinu $AC$ u omjeru $3:1$.

Ponovno koristeći poučak o simetrali kuta $\angle ABC$ zaključujemo

$$\frac{|AB|}{|BC|}=\frac{|AD|}{|DC|}=3,$$

čime smo pokazali željenu tvrdnju.

Treće rješenje.

Označimo s $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ redom mjere kutova $\angle BAC$, $\angle ABC$ i $\angle BCA$.

Primijetimo da je sada $\angle AMD=90^\circ+\frac\beta2$.

Primjenom sinusovog poučka na trokut $AMD$ dobivamo

$$\frac{|AD|}{|MD|}=\frac{\sin\left(90^\circ+\frac\beta2\right)}{\sin\alpha}=\frac{\cos\frac\beta2}{\sin\alpha}.$$

Slijedi da je

$$|AD|=\frac{\cos\frac\beta2}{\sin\alpha}|MD| =\frac{\cos\frac\beta2\sin\frac\beta2}{\sin\alpha}|MB|.$$

Ponovnom primjenom sinusovog poučka na trokut $ADM$ dobivamo

$$\frac{|AD|}{|AM|} =\frac{\sin\left(90^\circ+\frac\beta2\right)}{\sin\left(180^\circ-\alpha-\left(90^\circ+\frac\beta2\right)\right)} =\frac{\cos\frac\beta2}{\cos\left(\alpha+\frac\beta2\right)}.$$

Kako je $|AM|=|MB|$, imamo

$$\frac{\cos\frac\beta2\sin\frac\beta2}{\sin\alpha} =\frac{\cos\frac\beta2}{\cos\left(\alpha+\frac\beta2\right)},$$

odnosno

$$\sin\frac\beta2\cos\left(\alpha+\frac\beta2\right)=\sin\alpha.$$

Iz adicijskih formula dobivamo

$$\sin(\alpha+\beta) =\sin\left(\alpha+\frac\beta2+\frac\beta2\right) =\sin\left(\alpha+\frac\beta2\right)\cos\frac\beta2 +\sin\frac\beta2\cos\left(\alpha+\frac\beta2\right)$$

i

$$\sin\alpha =\sin\left(\alpha+\frac\beta2-\frac\beta2\right) =\sin\left(\alpha+\frac\beta2\right)\cos\frac\beta2 -\sin\frac\beta2\cos\left(\alpha+\frac\beta2\right),$$

odakle slijedi

$$\sin\alpha=\frac{\sin(\alpha+\beta)-\sin\alpha}{2},$$

odnosno

$$\sin(\alpha+\beta)=3\sin\alpha.$$

Konačno, primjenom sinusovog poučka na trokut $ABC$ dobivamo

$$\frac{|AB|}{|BC|}=\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha}=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha}=3,$$

što je i trebalo dokazati.