4. Zadatak

Prvo rješenje.

Takvi brojevi ne postoje.

Pretpostavimo da takvi brojevi postoje i označimo ih s $a$, $b$, $c$, $d$ i $e$, bez smanjenja općenitosti pretpostavljajući njihov uređaj: $a<b<c<d<e$.

Posebno, iz uvjeta zadatka, vrijedi da je

$$A:=\frac{a+b+c}{d+e}$$

prirodan broj. Kako su svi pribrojnici u brojniku manji od $d$, te kako je $e>d$, slijedi

$$0<A=\frac{a+b+c}{d+e}<\frac{d+d+d}{d+d}=\frac32.$$

Jedini prirodan broj koji se nalazi između $0$ i $\frac32$ je broj $1$. Zaključujemo da je $A=1$, odnosno

$$a+b+c=d+e.$$

Također iz uvjeta zadatka, vrijedi i da je

$$B:=\frac{a+d+e}{b+c}$$

prirodan broj. Koristeći dobiveno, imamo

$$B=\frac{a+d+e}{b+c}=\frac{a+a+b+c}{b+c}=1+\frac{2a}{b+c},$$

odakle slijedi da $b+c\mid2a$. No, broj $2a$ je veći od nule, a manji od $b+c$, pa to nije moguće.

Došli smo do kontradikcije, zaista takvih pet prirodnih brojeva ne postoji.

Drugo rješenje.

Dokazujemo da takvi brojevi $a<b<c<d<e$ ne postoje. U slučaju da postoje, kao u prvom rješenju dokažemo da vrijedi $a+b+c=d+e$.

Promotrimo sada prirodan broj

$$C:=\frac{a+b+d}{c+e}.$$

Prema uvjetima zadatka, vrijedi

$$0<C=\frac{a+b+d}{c+e}<\frac{c+c+e}{c+e}=\frac c{c+e}+1<\frac32.$$

Slično kao za broj $A$, zaključujemo da je i $C=1$, odakle je

$$a+b+d=c+e.$$

Oduzimajući dvije dobivene jednadžbe, imamo

$$(a+b+c)-(a+b+d)=(d+e)-(c+e),$$ $$c-d=d-c,$$ $$c=d,$$

što je u kontradikciji s tvrdnjom da su svi brojevi različiti.

Dakle, zaista takvih pet brojeva ne postoji.