2. Zadatak

Neka su $m$ i $n$ elementi danog skupa, tj. neka vrijedi

$$m=a^2-5b^2,\qquad n=c^2-5d^2,$$

pri čemu su $a,b,c,d$ prirodni brojevi. Tada je

$$\begin{aligned} m\cdot n &=(a^2-5b^2)(c^2-5d^2)\\ &=a^2c^2-5b^2c^2-5a^2d^2+25b^2d^2\\ &=a^2c^2+25b^2d^2+10abcd-5b^2c^2-5a^2d^2-10abcd\\ &=(a^2c^2+10ac\cdot bd+25b^2d^2)-5(b^2c^2+2bc\cdot ad+a^2d^2)\\ &=(ac+5bd)^2-5(bc+ad)^2. \end{aligned}$$

Kako su $a,b,c,d$ prirodni brojevi, brojevi $ac+5bd$ i $bc+ad$ su također prirodni. Dakle, $m\cdot n$ je element danog skupa.

Napomena. Vrijedi i

$$(a^2-5b^2)(c^2-5d^2)=(ac-5bd)^2-5(bc-ad)^2.$$

Učeniku koji napiše takvu jednakost treba dati 7 bodova ili 8 bodova ovisno o tome je li objasnio da se može postići da je broj u zagradi nenegativan.

Dva boda se gube ako ostane mogućnost da je u nekoj zagradi broj jednak nuli.