3. Zadatak

Prvo rješenje

Budući da je $|CE_1|=|AD_1|$, dovoljno je dokazati da je trokut $B_1CE_1$ jednakokračan. Kako je dijagonala pravilnog peterokuta paralelna njegovoj stranici, vrijedi $B_1E_1\parallel C_1D_1$, odnosno $E_1B_1\parallel D_1E$. Promotrimo trokute $CB_1E_1$ i $CED_1$.

Kako su im odgovarajuće stranice paralelne, oni imaju jednake kutove (kutovi s paralelnim kracima) pa je

$$\angle CB_1E_1=\angle CED_1.$$

Zbog simetrije peterokuta trokut $CED_1$ je jednakokračan pa je $\angle CED_1=\angle ECD_1$. Konačno dobivamo $\angle CB_1E_1=\angle B_1CE_1$, što znači da je trokut $CB_1E_1$ jednakokračan, a to smo i htjeli dokazati.

Drugo rješenje

Unutarnji kut pravilnog peterokuta je

$$3\cdot180^\circ/5=108^\circ.$$

Kako je trokut $\triangle CDE$ jednakokračan, vrijedi

$$\angle DCE=\angle DEC=\frac{180^\circ-\angle CDE}{2}=\frac{180^\circ-108^\circ}{2}=36^\circ.$$

Jasno je da su svi označeni kutovi na donjoj slici sukladni i iznose $36^\circ$.

Zato su kutovi $\angle DAC$, $\angle EBD$, $\angle ACE$, $\angle BDA$ i $\angle CEB$ svi jednaki. Nadalje,

$$\angle BDA=108^\circ-\angle CDB-\angle EDA=108^\circ-36^\circ-36^\circ=36^\circ.$$

Dalje možemo nastaviti na razne načine.

Prvi način

Uočimo da zbog simetrije vrijedi $|AD_1|=|CE_1|$. Stoga je dovoljno dokazati da je trokut $CB_1E_1$ jednakokračan. Peterokut $A_1B_1C_1D_1E_1$ je također pravilan pa je i $\angle A_1B_1E_1=36^\circ$. Stoga je trokut $\triangle CB_1E_1$ jednakokračan i time je tvrdnja dokazana.

Drugi način

Analogno, u pravilnom peterokutu $A_1B_1C_1D_1E_1$ vrijedi $\angle D_1B_1E_1=36^\circ$. Promotrimo trokute $BD_1E_1$ i $B_1D_1E_1$. Oba su jednakokračna i imaju po jedan kut od $36^\circ$. Kutovi uz zajedničku stranicu $D_1E_1$ u oba trokuta su jednaki $72^\circ$ pa su ti trokuti sukladni (po poučku „kut-stranica-kut“). Stoga je $|B_1E_1|=|BD_1|$, a kako je očito $|BD_1|=|AD_1|$, time je tvrdnja dokazana.

Treći način

Analogno, u pravilnom peterokutu $A_1B_1C_1D_1E_1$ vrijedi $\angle A_1E_1B_1=36^\circ$. Sada iz $\angle CDB=\angle DBE=\angle A_1E_1B_1$ (jer su svi jednaki $36^\circ$)

slijedi $BE\parallel CD\parallel E_1B_1$. Analogno je i $BD\parallel AE\parallel B_1D_1$. Stoga je četverokut $BE_1B_1D_1$ paralelogram i njegove nasuprotne stranice $BD_1$ i $E_1B_1$ su sukladne. Kako je $|BD_1|=|AD_1|$, time smo dokazali tvrdnju zadatka.