5. Zadatak

Prijateljice Anica i Neda igraju igru tako da u svakom potezu, nakon što jedna od njih kaže broj $n$ , druga mora reći neki broj oblika $a\cdot b$ pri čemu su $a$ i $b$ prirodni brojevi za koje vrijedi $a+b=n$ . Igra se zatim nastavlja na isti način, od upravo izrečenog broja. S kojim je sve brojevima mogla započeti igra ako je nakon određenog vremena jedna od njih rekla broj $2011$ ?

Rješenje

Uočimo da se potezom

n=(n-1)+1\ \longmapsto\ (n-1)\cdot1=n-1

izrečeni broj smanjuje točno za $1$ , pa se nizom takvih poteza izrečeni broj može po volji smanjiti.

Potezom

n=(n-2)+2\ \longmapsto\ (n-2)\cdot2=2n-4

se izrečeni broj $n$ povećava ukoliko vrijedi $2n-4>n$ , tj. ako je $n>4$ . Krenuvši od bilo kojeg broja $n>4$ , ponavljanjem tog poteza može se doći do nekog broja koji je veći od $2011$ i zatim smanjivanjem kako je gore opisano možemo dobiti broj $2011$ .

Uočimo da brojeve $1,2,3,4$ dopuštenim potezima ne možemo uvećati:

$2=1+1$	$3=2+1$	$4=3+1$	$4=2+2$
$1\cdot1=1$	$2\cdot1=2$	$3\cdot1=3$	$2\cdot2=4$

pa počevši od njih ne možemo doći do broja $2011$ . Dakle, igra je mogla početi bilo kojim brojem $n$ koji zadovoljava $n\ge5$ .