4. Zadatak

Prvo rješenje

Neka je dan trokut $ABC$ i neka su $P$, $Q$, $R$ redom polovišta stranica $BC$, $CA$, $AB$. Bez smanjenja općenitosti, neka je $AP$ težišnica koja je kraća od jedne od srednjica. Postoje dva bitno različita slučaja ovisno o tome jesu li srednjica i težišnica pridružene istim ili različitim stranicama trokuta.

1. slučaj

Pretpostavimo da je $|RQ|>|AP|$. Dužine $RP$ i $PQ$ su srednjice trokuta $ABC$ pa je $ARPQ$ paralelogram. $RQ$ je dulja dijagonala paralelograma $ARPQ$, pa je kut nasuprot njoj tupi kut. Dakle, kut $\angle BAC$ je tupi.

2. slučaj

Pretpostavimo da je $|RP|>|AP|$. (Slučaj $|PQ|>|AP|$ rješava se analogno.) $AP$ nije najdulja stranica trokuta $ARP$ pa je $\angle ARP$ šiljasti kut. Zato je $\angle BRP$ tupi, a zbog $PR\parallel AC$ vrijedi $\angle BAC=\angle BRP$, pa je i $\angle BAC$ tupi kut.

Drugo rješenje

Koristimo oznake kao u prvom rješenju. Bez smanjenja općenitosti, neka je $RQ$ srednjica koja je dulja od jedne od težišnica. Postoje dva bitno različita slučaja ovisno o tome jesu li srednjica i težišnica iz zadatka pridružene istim ili različitim stranicama trokuta.

1. slučaj

Pretpostavimo da je $|RQ|>|AP|$. Neka je $k$ kružnica s promjerom $BC$.

Tada je $|AP|<|RQ|=|BP|=|CP|$. Dakle, $|AP|$ je manje od polumjera kružnice $k$, pa se točka $A$ nalazi unutar te kružnice, odakle slijedi da je kut $\angle BAC$ tupi.

2. slučaj

Pretpostavimo da je $|RQ|>|BQ|$. (Slučaj $|RQ|>|CR|$ rješava se analogno.) Neka je $k$ kružnica sa središtem u $Q$ i promjerom $RM$.

Budući da je $|BQ|$ manje od polumjera od $k$, $B$ se nalazi unutar kružnice $k$, pa je kut $\angle MBR$ tupi, odakle slijedi da je i kut $\angle ABC$, koji je od njega veći, također tupi.