3. Zadatak

Pogledajmo ostatke koje izrazi na lijevoj i desnoj strani zadane jednakosti daju pri dijeljenju s $3$. Desna strana je djeljiva s $3$, broj $2021$ daje ostatak $2$ pri dijeljenju s $3$, pa broj $2^a$ mora davati ostatak $1$. Gledajući ostatke koje $2^a$ redom daje pri dijeljenju s $3$ za razne vrijednosti $a$, vidimo da se ostatci $2$ i $1$ ponavljaju s periodom $2$. Zaključujemo da je $a$ nužno paran broj, odnosno $a=2a_1$ za neki prirodni broj $a_1$.

Posebno, vrijedi $a\ge2$, pa je $2^a$ djeljivo s $4$. Broj $2021$ daje ostatak $1$ pri dijeljenju s $4$, pa taj ostatak mora davati i izraz na desnoj strani. Broj $25^c$ daje ostatak $1$, dok izraz $3^b$ periodički daje ostatke $3$ i $1$ pri dijeljenju s $4$. Zaključujemo da je i $b$ paran broj, odnosno $b=2b_1$ za neki prirodni broj $b_1$.

Sada iz zadane jednadžbe slijedi

$$2021=3^{2b_1}\cdot5^{2c}-2^{2a_1}=(3^{b_1}\cdot5^c-2^{a_1})(3^{b_1}\cdot5^c+2^{a_1}).$$

Kako su faktori na desnoj strani neparni brojevi čija je razlika jednaka $2^{a_1+1}$, zaključujemo da su oni relativno prosti. Uzimajući u obzir da faktorizacija broja $2021$ na proste faktore glasi $2021=43\cdot47$, te da je prvi faktor na desnoj strani jednadžbe strogo manji od drugog, imamo dva slučaja: prvi faktor iznosi $1$, a drugi $2021$, ili prvi faktor iznosi $43$, a drugi $47$.

U prvom slučaju je

$$3^{b_1}\cdot5^c-2^{a_1}=1\quad\text{i}\quad3^{b_1}\cdot5^c+2^{a_1}=2021.$$

Oduzimanjem jednadžbi dobivamo $2^{a_1+1}=2020$, što nema rješenja.

U drugom slučaju je

$$3^{b_1}\cdot5^c-2^{a_1}=43\quad\text{i}\quad3^{b_1}\cdot5^c+2^{a_1}=47.$$

Oduzimanjem jednadžbi dobivamo $2^{a_1+1}=4$, odakle je $a_1=1$ te $a=2$. Uvrštavanjem u bilo koju od preostalih jednadžbi dobivamo $3^{b_1}5^c=45$, odakle je $b_1=2$ (te stoga $b=4$) i $c=1$.

Konačno, jedino rješenje zadane jednadžbe je $(a,b,c)=(2,4,1)$.