5. Zadatak

Dan je trokut $ABC$ čije je središte upisane kružnice točka $I$ . Odabrane su dvije točke, točka $D$ na luku $\widehat{AB}$ opisane kružnice trokuta $ABC$ koji ne sadrži točku $C$ , te točka $E$ na dužini $\overline{BC}$ , tako da vrijedi $\angle ADI=\angle IEC$ . Dokaži da postoji točka, neovisna o odabiru točaka $D$ i $E$ , kojom pravac $DE$ prolazi.

Rješenje

Neka je $M$ polovište luka $\widehat{BC}$ kružnice opisane trokutu $ABC$ koji ne sadrži točku $A$ te neka je $E'$ sjecište pravca $MD$ i stranice $\overline{BC}$ . Dokazat ćemo da pravac $DE$ za svaki izbor točaka $D$ i $E$ prolazi točkom $M$ tako što ćemo dokazati da se točke $E$ i $E'$ podudaraju.

Označimo s $\alpha$ , $\beta$ i $\gamma$ redom mjere kutova $\angle BAC$ , $\angle CBA$ i $\angle ACB$ .

Poznato je da $M$ leži na simetrali kuta iz vrha $A$ . Neka je $P$ sjecište te simetrale kuta i stranice $\overline{BC}$ .

Trokut ABC s točkama M, I, P, D i E'

Iz jednakosti obodnih kutova nad istom tetivom imamo $\angle MBE'=\angle MBC=\angle MAC=\frac{\alpha}{2}$ .

Slično vrijedi $\angle MDB=\angle MAB=\frac{\alpha}{2}$ , a budući da je trokutima $ME'B$ i $MBD$ kut pri vrhu $M$ zajednički, oni su slični prema K—K teoremu o sličnosti. Zato vrijedi

\frac{|ME'|}{|MB|}=\frac{|MB|}{|MD|}.

Budući da $I$ leži na simetrali kuta iz $B$ , slijedi $\angle MBI=\angle MBC+\angle CBI=\frac{\alpha+\beta}{2}$ . Iz jednakosti obodnih kutova nad istom tetivom imamo $\angle IMB=\angle AMB=\angle ACB=\gamma$ . Sada dobivamo

\angle MIB=180^\circ-\angle IMB-\angle MBI=\frac{\alpha+\beta}{2}.

Dakle, vrijedi $\angle MIB=\angle MBI$ , pa je trokut $MIB$ jednakokračan i vrijedi $|MB|=|MI|$ . Zato vrijedi i

\frac{|ME'|}{|MI|}=\frac{|MI|}{|MD|}.

Nadalje, u trokutima $ME'I$ i $MID$ kut pri vrhu $M$ je zajednički, pa prema S—K—S teoremu o sličnosti slijedi da su ti trokuti slični. Odavde slijedi

\angle MIE'=\angle MDI.

Kut $\angle MPB$ vanjski je kut trokuta $ABP$ pa je $\angle MPB=\angle PBA+\angle BAP=\frac{\alpha}{2}+\beta$ . Kut $\angle MDA$ obodni je kut nad tetivom $MA$ pa vrijedi $\angle MDA=\angle MBA=\angle MBC+\angle CBA=\frac{\alpha}{2}+\beta$ .

Dakle, $\angle MDA=\angle MPB=\frac{\alpha}{2}+\beta$ . Kut $\angle MPB$ također je vanjski kut trokuta $PIE'$ pa imamo

\angle IEC=\angle ADI=\angle MDA-\angle MDI=\angle MPB-\angle MIE'=\angle IE'P=\angle IE'C.

Kada bi $E$ i $E'$ bile različite točke na stranici, jedan od kutova $\angle IEC$ i $\angle IE'C$ bio bi vanjski kut trokuta $IEE'$ pa bi zato bio strogo veći od drugog kuta, čime dobivamo kontradikciju s gornjom jednakosti. Dakle, točke $E'$ i $E$ se podudaraju, čime je dokaz završen.