2. Zadatak

Primjenom nejednakosti između aritmetičke i harmonijske sredine na brojeve $p_1+p_2$, $p_2+p_3$, $\ldots$, $p_{n-1}+p_n$, imamo

$$\frac{(p_1+p_2)+\cdots+(p_{n-1}+p_n)}{n-1} \ge \frac{n-1}{\frac1{p_1+p_2}+\cdots+\frac1{p_{n-1}+p_n}}.$$

Sređivanjem slijedi

$$\sum_{i=1}^{n-1}\frac1{p_i+p_{i+1}} \ge \frac{(n-1)^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}(p_i+p_{i+1})}.$$

Primijetimo da vrijedi

$$\sum_{i=1}^{n-1}(p_i+p_{i+1})=p_1+2p_2+\cdots+2p_{n-1}+p_n=2\sum_{i=1}^{n}i-p_1-p_n=n(n+1)-p_1-p_n.$$

Kako su $p_1,p_n$ različiti brojevi iz skupa $\{1,2,\ldots,n\}$, imamo

$$n(n+1)-p_1-p_n\le n(n+1)-1-2=n^2+n-3.$$

Slijedi

$$\sum_{i=1}^{n-1}\frac1{p_i+p_{i+1}}\ge\frac{(n-1)^2}{n^2+n-3}.$$

S druge strane imamo

$$\frac{(n-1)^2}{n^2+n-3} =\frac{n-1}{n+2}\cdot\frac{(n-1)(n+2)}{n^2+n-3} =\frac{n-1}{n+2}\cdot\frac{n^2+n-2}{n^2+n-3} >\frac{n-1}{n+2},$$

čime je tvrdnja zadatka dokazana.