1. Zadatak

Uvrštavanjem u zadanu jednakost dobivamo $y_0=1$, te $y_1=1+2=3$. Budući da je $(y_n)$ geometrijski niz, zaključujemo da vrijedi $y_n=3^n$ za sve $n\in\mathbb{N}_0$.

Matematičkom indukcijom dokazat ćemo da vrijedi $x_n=2^n$ za sve $n\in\mathbb{N}_0$.

Za $n=0$ i $n=1$ vrijedi $x_0=1=2^0$ i $x_1=2=2^1$, pa je baza indukcije zadovoljena.

Pretpostavimo da za sve $k\le n$ vrijedi $x_k=2^k$. Dokažimo da vrijedi i $x_{n+1}=2^{n+1}$. Prema pretpostavci indukcije vrijedi

$$\begin{aligned} y_{n+1} &=\binom{n+1}{0}x_0+\binom{n+1}{1}x_1+\cdots+\binom{n+1}{n}x_n+\binom{n+1}{n+1}x_{n+1}\\ &=\binom{n+1}{0}2^0+\binom{n+1}{1}2^1+\cdots+\binom{n+1}{n}2^n+\binom{n+1}{n+1}x_{n+1}\\ &=\binom{n+1}{0}2^0+\binom{n+1}{1}2^1+\cdots+\binom{n+1}{n}2^n+\binom{n+1}{n+1}2^{n+1}\\ &\quad-\binom{n+1}{n+1}\bigl(2^{n+1}-x_{n+1}\bigr)\\ &=(1+2)^{n+1}-2^{n+1}+x_{n+1}\\ &=3^{n+1}-2^{n+1}+x_{n+1}, \end{aligned}$$

gdje predzadnja jednakost vrijedi prema binomnom teoremu. Kako je $y_{n+1}=3^{n+1}$, slijedi $x_{n+1}=2^{n+1}$, čime je korak indukcije dokazan.

Zato za svaki $n\in\mathbb{N}_0$ vrijedi $x_n=2^n$, pa posebno imamo $x_{2020}=2^{2020}$.