1. Zadatak

Primijetimo da $n=1$ svakako nije rješenje, pa je $d(n)\ge2$.

Također, nije moguće da vrijedi $d(n)=2$ jer bi tada broj $n$ bio prost i zadana jednadžba bi glasila $1+n=n+2+1$, pa je $d(n)\ge3$.

Neka su $1=D_1<D_2<\cdots<D_d=n$ djelitelji broja $n$. Početna jednadžba glasi

$$1+\sum_{i=2}^{d(n)-1}D_i+n=n+d(n)+1.$$

Budući da je $D_i\ge2$ za sve $i\in\{2,3,\ldots,d(n)-1\}$, vrijedi

$$d(n)=\sum_{i=2}^{d(n)-1}D_i\ge(d(n)-2)\cdot2,$$

odakle je $d(n)\le4$, odnosno $3\le d(n)\le4$.

Za $d(n)=3$ broj $n$ je kvadrat nekog prostog broja $p$ i početna jednadžba glasi

$$1+p+p^2=p^2+3+1,$$

odakle slijedi $p=3$ i $n=p^2=9$.

Za $d(n)=4$ imamo dvije mogućnosti.

a) Ako je $n$ umnožak nekih prostih brojeva $q$ i $r$ ($q<r$), onda početna jednadžba glasi

$$1+q+r+qr=qr+4+1,$$

odakle je $q+r=4$. Ne postoje takvi prosti brojevi $q$ i $r$.

b) Ako je $n$ kub nekog prostog broja $s$, onda početna jednadžba glasi

$$1+s+s^2+s^3=s^3+4+1,$$

odakle je $s^2+s-4=0$. Ne postoji takav prirodni broj $s$.

Dakle, jedino rješenje je $n=9$.