2. Zadatak

Uvrštavanjem $y=0$ slijedi $f(x)f(0)=f(x)$ za sve realne brojeve $x$.

Ako bi vrijedilo $f(x)=0$ za sve $x$, tada bi početna jednakost glasila $0=0+xy$ za sve $x,y$, što je nemoguće. Dakle, mora vrijediti $f(0)=1$.

Uvrštavanjem $x=1$, $y=-1$ slijedi $f(1)f(-1)=f(0)-1$, odnosno $f(1)f(-1)=0$.

Ako je $f(1)=0$ tada uvrštavanjem $y=1$ u početnu jednadžbu dobivamo da je $0=f(x+1)+x$ za sve $x$, pa zamjenom $z=x+1$ dobivamo da je $f(z)=1-z$ za sve $z$.

Analogno, ako je $f(-1)=0$ uvrštavanjem $y=-1$ dobivamo da je $0=f(x-1)-x$ za sve $x$, pa zamjenom $z=x-1$ dobivamo da je $f(z)=1+z$ za sve $z$.

Uvrštavanjem vidimo da funkcije $f(x)=1-x$ i $f(x)=1+x$ zaista zadovoljavaju početnu jednadžbu, te su to tražena rješenja.