3. Zadatak

Prvo rješenje.

Dana nejednakost redom je ekvivalentna s

$$\begin{aligned} &8\cos x\cos y(\cos x\cos y+\sin x\sin y)+1>4\cos^2x+4\cos^2y,\\ &8\cos^2x\cos^2y+8\cos x\cos y\sin x\sin y-4\cos^2x-4\cos^2y+1>0,\\ &8\cos^2x\cos^2y-4\cos^2x-4\cos^2y+2\sin 2x\sin 2y+1>0,\\ &2(4\cos^2x\cos^2y-2\cos^2x-2\cos^2y+1)+2\sin 2x\sin 2y-1>0,\\ &2(2\cos^2x-1)(2\cos^2y-1)+2\sin 2x\sin 2y-1>0,\\ &\cos 2x\cos 2y+\sin 2x\sin 2y>\frac12,\\ &\cos(2x-2y)>\frac12. \end{aligned}$$

Prema Dirichletovom principu, u jednom od skupova $\left\langle0,\frac\pi6\right\rangle$, $\left[\frac\pi6,\frac\pi3\right\rangle$, $\left[\frac\pi3,\frac\pi2\right\rangle$ nalaze se dva od dana četiri broja. Neka su to $x$ i $y$. Tada vrijedi $|2x-2y|<\frac\pi3$ i $\cos(2x-2y)>\frac12$, čime je tvrdnja dokazana.

Drugo rješenje.

Dana nejednakost redom je ekvivalentna s

$$\begin{aligned} &2\cos x\cos y(\cos x\cos y+\sin x\sin y)+\frac14>\cos^2x+\cos^2y,\\ &2\cos^2x\cos^2y+2\cos x\cos y\sin x\sin y-\cos^2x-\cos^2y+\frac14>0,\\ &\cos^2x\cos^2y+2\cos x\cos y\sin x\sin y+\cos^2x\cos^2y-\cos^2x-\cos^2y+1-1+\frac14>0,\\ &\cos^2x\cos^2y+2\cos x\cos y\sin x\sin y+(\cos^2x-1)(\cos^2y-1)>\frac34,\\ &\cos^2x\cos^2y+2\cos x\cos y\sin x\sin y+\sin^2x\sin^2y>\frac34,\\ &(\cos x\cos y+\sin x\sin y)^2>\frac34,\\ &\cos^2(x-y)>\frac34. \end{aligned}$$

Dovoljno je pokazati da možemo odabrati $x$ i $y$ tako da bude $\cos|x-y|>\frac{\sqrt3}{2}$. Prema Dirichletovom principu, u jednom od skupova $\left\langle0,\frac\pi6\right\rangle$, $\left[\frac\pi6,\frac\pi3\right\rangle$, $\left[\frac\pi3,\frac\pi2\right\rangle$ nalaze se dva od dana četiri broja. Neka su to $x$ i $y$. Njihova razlika je manja od $\frac\pi6$ pa je $\cos|x-y|>\frac{\sqrt3}{2}$, a tada je i dana nejednakost zadovoljena.