5. Zadatak

Za $k=1$ pojedini zadatak je riješio samo jedan učenik. To znači da ne postoji drugi učenik zbog uvjeta da su svaka dva učenika riješili jedan zajednički zadatak.

Neka je sada $k\ge2$. Neka je $A$ jedan od učenika. On je točno riješio tri zadatka, a svaki od ta tri zadatka je riješilo još $k-1$ učenika. Međutim, tih $3(k-1)$ učenika su svi različiti jer ne postoje dva učenika koja su riješila dva ista zadatka. S druge strane, osim učenika $A$ i tih $3(k-1)$ učenika nema drugih, jer je svaki učenik riješio jedan od zadataka koje je riješio $A$. Zato je broj učenika $n=3(k-1)+1=3k-2$.

Promotrimo sada ukupan broj zadataka. Svaki učenik je riješio tri zadatka, ali svaki zadatak je riješilo $k$ učenika. Stoga je broj zadataka jednak $\frac{3n}{k}$ i to naravno mora biti prirodan broj. Koristeći gornju formulu za $n$ dobivamo

$$\frac{3n}{k}=\frac{3\cdot(3k-2)}{k}=9-\frac6k,$$

odakle slijedi da $k$ dijeli $6$, odnosno $k\in\{2,3,6\}$ (zbog $k\ge2$).

Za $k=2$ imamo $n=4$ učenika ($A,B,C,D$) i ukupno $\frac{3n}{k}=6$ zadataka ($1,2,3,4,5,6$).

$$\begin{aligned} A&:1,2,3\\ B&:1,4,5\\ C&:2,4,6\\ D&:3,5,6 \end{aligned}$$

Za $k=3$ imamo $n=7$ učenika i ukupno $\frac{3n}{k}=7$ zadataka. Traženi raspored je:

$$\begin{aligned} A&:1,2,3\\ B&:1,4,5\\ C&:1,6,7\\ D&:2,4,6\\ E&:2,5,7\\ F&:3,4,7\\ G&:3,5,6 \end{aligned}$$

Za $k=6$ imali bismo $n=16$ učenika i $\frac{3n}{k}=8$ zadataka. Tada je ukupan broj parova zadataka $\binom82=28$. No, broj parova zadataka koje je riješio isti učenik jednak je $3\cdot16=48$, jer ne postoje dva učenika koja su riješila ista dva zadatka. Kako je $48>28$, ovaj slučaj je nemoguć.

Dakle, opisana situacija moguća je za $(n,k)\in\{(1,1),(4,2),(7,3)\}$.