1. Zadatak

Prvo rješenje.

Uočimo da je za $a\ge0$ dani izraz definiran. Za $a=1$ vrijednost izraza je $-2$. Dokazat ćemo da je to najmanja moguća vrijednost. Vrijedi

$$\begin{aligned} a^3-a^2-2\sqrt a &=(a-2\sqrt a+1)+a^3-a^2-a-1\\ &=(\sqrt a-1)^2+a^2(a-1)-(a-1)-2\\ &=(\sqrt a-1)^2+(a^2-1)(a-1)-2\\ &=(\sqrt a-1)^2+(a-1)^2(a+1)-2. \end{aligned}$$

Kvadrati realnih brojeva su uvijek nenegativni, a izraz $a+1$ je pozitivan jer je $a\ge0$. Stoga je $a^3-a^2-2\sqrt a\ge-2$ za sve $a\ge0$.

Drugo rješenje.

Za $a=1$ vrijednost izraza je $-2$. Dokazat ćemo da je to najmanja moguća vrijednost, tj. da za sve $a\ge0$ vrijedi $a^3-a^2-2\sqrt a\ge-2$. Vrijedi

$$a^3-a^2-2\sqrt a+2 =(a^2(a-1)-2(\sqrt a-1)) =(\sqrt a-1)(a^2(\sqrt a+1)-2).$$

Ako je $a\ge1$, onda je $a^2(\sqrt a+1)-2\ge2-2=0$ i $\sqrt a-1\ge0$ pa slijedi tvrdnja. Ako je $0\le a<1$, onda je $a^2(\sqrt a+1)-2<2-2=0$ i $\sqrt a-1<0$ pa opet slijedi tvrdnja.