Prvo rješenje.
Kako je
n−5n−1=n−5n−5+4=1+n−54,
broj n−5n−1 je cijeli ako i samo ako je i n−54 cijeli broj, a to vrijedi ako i samo ako je 4 djeljiv s (n−5), tj. ako i samo ako je
n−5∈{−4,−2,−1,1,2,4}.
Konačno, traženi brojevi su:
n∈{1,3,4,6,7,9}.
Drugo rješenje.
Odredimo sve n za koje je promatrani izraz cijeli broj. Vrijedi
n−5n−1=n−5n−5+4=1+n−54,
pa broj n−54 mora biti cijeli, tj. broj 4 mora biti djeljiv s (n−5). To je ispunjeno ako je
n−5∈{−4,−2,−1,1,2,4},
pa očekujemo da su traženi brojevi:
n∈{1,3,4,6,7,9}.
Provjerom:
1−51−1=0,3−53−1=−1,4−54−1=−3,6−56−1=5,7−57−1=3,9−59−1=2
utvrđujemo da su svi ti brojevi zaista rješenja.
Treće rješenje.
Uvrštavanjem brojeva n=1,2,3,4,6,7,8,9 (za n=5 nazivnik nije definiran) u dani izraz dobivamo
1−51−1=0,2−52−1=−31,3−53−1=−1,4−54−1=−3,
6−56−1=5,7−57−1=3,8−58−1=37,9−59−1=2.
Utvrđujemo da je to cijeli broj za n∈{1,3,4,6,7,9}.
Za n≥10, izraz n−5n−1 je veći od 1, a vrijedi i n−5>4 pa je n−54<1 i stoga
1<n−5n−1=n−5n−5+4=1+n−54<2.
Zaključujemo da za n≥10 dani izraz ne može biti cijeli broj.
