4. Zadatak

Prvo rješenje.

Iz $|z|=\left|\dfrac1z\right|$ dobivamo $|z|^2=1$, a iz toga $|z|=1$.

Stavimo li $z=a+bi$, dobivamo $a^2+b^2=1$.

S druge strane, kako je $|z+1|=|z|=1$, to je $|a+bi+1|=1$, odnosno

$$(a+1)^2+b^2=1,$$

tj., nakon sređivanja, $a^2+2a+b^2=0$.

Kako je $a^2+b^2=1$, dobivamo $2a=-1$, tj. $a=-\dfrac12$, a onda slijedi $b=\pm\dfrac{\sqrt3}{2}$. Traženi brojevi su

$$z_{1,2}=-\frac12\pm\frac{\sqrt3}{2}i.$$

Drugo rješenje.

Iz $|z|=\left|\dfrac1z\right|$ dobivamo $|z|^2=1$, a iz toga $|z|=1$.

S druge strane, iz $|z+1|=|z|$ slijedi

$$(z+1)\overline{(z+1)}=z\overline z,$$

odnosno

$$z\overline z+z+\overline z+1=z\overline z$$

i konačno

$$z+\overline z=-1. \tag{*}$$

Neka je $z=a+ib$. Tada je $\overline z=a-ib$ pa iz (*) slijedi $a=-\dfrac12$, a onda iz $|z|=1$ dobivamo $b=\pm\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Traženi brojevi su

$$z_{1,2}=-\frac12\pm\frac{\sqrt3}{2}i.$$