8. Zadatak

Prvo rješenje.

Svaki od njih trojice došao je na red 10 puta, tj. odigrano je deset krugova. Da su svi stalno bacali kockicu samo jednom, bilo bi ukupno 30 bacanja.

Preostalih $47-30=17$ bacanja kockice napravili su Ivan i Stipe dodatnim bacanjima.

Ako je Ivan u $x$ krugova bacao tri dodatna bacanja, a Stipe u $y$ krugova dodatnih pet bacanja, onda vrijedi

$$3x+5y=17.$$

Brojevi $x$ i $y$ moraju biti prirodni brojevi ili $0$, pa jednadžbu možemo riješiti uvrštavanjem $y=0,1,2,3,\ldots$. Za $y\ge4$ broj $x$ je manji od nule. Jedino rješenje je $x=4,y=1$.

Ivan je četiri puta bacao dodatne kockice, pa je ukupno bacao $10+4\cdot3=22$ puta.

Stipe je bacao dodatne kockice samo jednom, pa je bacao kockicu ukupno $10+5=15$ puta.

Najviše puta je kockicu bacao Ivan.

Drugo rješenje.

Neka je Ivan dobio prvu šesticu u $m$-tom krugu, a Stipe u $n$-tom.

Tonći je bacio kockicu 10 puta, pa su i Ivan i Stipe po 10 puta došli na red.

To znači da je Ivan u zadnjih $(10-m)$ krugova bacao kockicu četiri puta pa je ukupno bacio kockicu

$$m\cdot1+(10-m)\cdot4=40-3m$$

puta.

Stipe je u zadnjih $(10-n)$ krugova bacao kockicu šest puta pa je ukupno bacio kockicu

$$n\cdot1+(10-n)\cdot6=60-5n$$

puta.

Zato vrijedi

$$(40-3m)+(60-5n)+10=47.$$

Nakon sređivanja dobivamo jednadžbu

$$3m+5n=63.$$

Brojevi $m$ i $n$ moraju biti iz $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$. Uočimo li da $n$ mora biti djeljiv s $3$, dovoljno je uvrstiti redom $n=3,n=6$ i $n=9$. Jedino za $n=9$ dobivamo rješenje koje zadovoljava uvjete, pa je $m=6$ i $n=9$.

Ivan je dobio prvu šesticu u šestom krugu, a Stipe u devetom.

Ivan je ukupno bacao $6+4\cdot4=22$ puta, a Stipe $9+6=15$ puta.

Ivan je bacio kockicu najviše puta.