3. Zadatak

Oba kvadratna polinoma u nazivnicima imaju negativne diskriminante te su uvijek pozitivni.

Nakon množenja s nazivnicima, nejednadžba poprima oblik

$$(x+a)(x^2+2x+3)<x(x^2+x+1),$$

a nakon sređivanja dobivamo

$$(a+1)x^2+2(a+1)x+3a<0. \tag{*}$$

Neka je $a\ne-1$. Da bi nejednakost (*) vrijedila za sve realne brojeve $x$, mora vrijediti $a+1<0$ i diskriminanta ove kvadratne funkcije mora biti negativna.

$$\begin{aligned} D&=4(a+1)^2-4(a+1)\cdot3a\\ &=4(a+1)(1-2a)=4(-2a^2-a+1). \end{aligned}$$

Dakle, rješavamo sustav

$$a<-1\qquad\text{i}\qquad(a+1)(1-2a)<0.$$

Rješenje posljednje kvadratne nejednadžbe je

$$a\in(-\infty,-1)\cup\left(\frac12,+\infty\right),$$

pa je rješenje sustava $a\in(-\infty,-1)$.

Za $a=-1$ nejednadžba (*) postaje $-3<0$ i očito je ispunjena za sve $x\in\mathbb{R}$. Zato je i $a=-1$ rješenje zadatka.

Konačno rješenje je

$$a\in(-\infty,-1].$$