6. Zadatak

Prvo rješenje.

Kako je $\dfrac ca$ rješenje jednadžbe $ax^2+bx+c=0$, nakon uvrštavanja dobivamo

$$a\cdot\left(\frac ca\right)^2+b\cdot\frac ca+c=0,$$

odnosno

$$c^2+bc+ac=0,$$

tj.

$$c(a+b+c)=0.$$

Kako je $c\ne0$, mora vrijediti $a+b+c=0$, pa je $x_0=1$ zajedničko rješenje danih triju jednadžbi.

Označimo s $x_1,x_2,x_3$ druga rješenja tih jednadžbi. Prema Vieteovim formulama vrijedi

$$x_0x_1=\frac ca,\qquad x_0x_2=\frac ab,\qquad x_0x_3=\frac bc,$$

pa kako je $x_0=1$, traženi umnožak iznosi

$$x_1x_2x_3=\frac ca\cdot\frac ab\cdot\frac bc=1.$$

Drugo rješenje.

Kao u prvom rješenju zaključujemo da mora vrijediti $a+b+c=0$.

Uvrštavanjem $c=-a-b$ u dane jednadžbe dobivamo

$$ax^2+bx-a-b=0,\qquad bx^2-ax-bx+a=0,\qquad -ax^2-bx^2+ax+b=0.$$

Rješenja prve jednadžbe

$$(x-1)(ax+a+b)=0$$

su $x_0=1$ i $x_1=-\dfrac{a+b}{a}$.

Rješenja druge jednadžbe

$$(x-1)(bx-a)=0$$

su $x_0=1$ i $x_2=\dfrac ab$.

Rješenja treće jednadžbe

$$(1-x)(ax+bx+b)=0$$

su $x_0=1$ i $x_3=-\dfrac b{a+b}$.

$(a+b\ne0$ jer je $c=-(a+b)\ne0)$.

Umnožak ne-zajedničkih rješenja je

$$x_1x_2x_3=-\frac{a+b}{a}\cdot\frac ab\cdot\left(-\frac b{a+b}\right)=1.$$