6. Zadatak

Neka je duljina visine posude $h$ cm, a polumjer osnovke $r$ cm.

Promotrimo poprečni presjek posude kada je postavljena vrhom prema gore.

Neka je polumjer osnovke stošca unutar posude koji nije ispunjen vodom $r_1$ cm. Tada zbog sličnosti vrijedi

$$\frac hr=\frac8{r_1}.$$

Također, ako je polumjer osnovke stošca koji je ispunjen vodom kada je posuda okrenuta vrhom prema dolje $r_2$ cm, onda je

$$\frac hr=\frac{h-2}{r_2}.$$

Obujam vode $V$ (u $\text{cm}^3$) možemo izraziti na dva načina. Kao obujam krnjeg stošca kojem je duljina visine $(h-8)$ cm, a osnovke imaju polumjere $r$ cm i $r_1$ cm:

$$V=\frac13r^2\pi h-\frac13r_1^2\pi\cdot8,$$

te kao obujam stošca duljine visine $(h-2)$ cm i osnovke polumjera $r_2$ cm:

$$V=\frac13r_2^2\pi\cdot(h-2).$$

Izjednačavanjem formula za $V$ i dijeljenjem s $\frac\pi3$ slijedi

$$hr^2-8r_1^2=(h-2)r_2^2,$$

pa uvrštavanjem $r_1=\frac{8r}{h}$ i $r_2=\frac{r(h-2)}h$ dobivamo

$$hr^2-8\cdot\frac{64r^2}{h^2}=(h-2)\cdot\frac{(h-2)^2r^2}{h^2}.$$

Dijeljenjem s $r^2$, množenjem s $h^2$ i sređivanjem dobivamo

$$h^3-512=(h-2)^3,$$ $$h^2-2h-84=0,$$

odakle dobivamo $h_{1,2}=1\pm\sqrt{85}$.

Jedino pozitivno rješenje je $1+\sqrt{85}$, pa je visina posude $(1+\sqrt{85})$ cm.