7. Zadatak

Brojevi $p$, $q$, $r$ i $s$ su neparni, pa moraju biti u skupu $\{p,p+2,p+4,p+6,p+8\}$.

Brojevi $p$ i $p+6$ daju isti ostatak pri dijeljenju s $3$, pa $p+6$ nije djeljiv s $3$. Također, $p+2$ i $p+8$ daju isti ostatak pri dijeljenju s $3$, te ne mogu biti djeljivi s $3$ jer barem jedan od njih mora biti prost. Konačno, zaključujemo da je $p+4$ djeljiv s $3$, te nije prost. Dakle, $q=p+2$, $r=p+6$ i $s=p+8$.

Zbroj tih četiriju brojeva je

$$p+q+r+s=4(p+4).$$

Očito je taj broj djeljiv s $4$ i $3$, pa preostaje pokazati da je djeljiv s $5$.

Među pet uzastopnih neparnih brojeva $p,p+2,p+4,p+6,p+8$, točno jedan od njih je djeljiv s $5$.

No, pokazali smo da jedino $p+4$ nije prost, a ostali su prosti brojevi veći od $5$, pa zaključujemo da $5$ dijeli $p+4$, odakle slijedi tvrdnja zadatka.