5. Zadatak

Označimo s $M$ polovište dužine $\overline{BQ}$ te s $\varphi=|\angle PCB|$.

Budući da je pravac $BC$ tangenta na $k$ u $C$, poučak o kutu između tangente i tetive daje

$$|\angle PAC|=|\angle PCB|.$$

Kako su trokuti $BCP$ i $QAP$ jednakokračni imamo

$$|\angle AQP| =|\angle QPA| =|\angle BPC| =|\angle CBP| =90^\circ-\frac{\varphi}{2}.$$

Sada vidimo da je četverokut $QPBC$ tetivan, jer je $|\angle CBP|=|\angle AQP|$.

Nadalje, kako je $M$ polovište dužine $\overline{BQ}$ te trokut $CQB$ pravokuta prema obratu Talesovog poučka slijedi da je $M$ središte opisane kružnice četverokuta $PBCQ$.

Po teoremu o središnjem i obodnom kutu imamo da je

$$|\angle CMP|=2|\angle CBP|=180^\circ-\varphi.$$

Konačno, uočimo da vrijedi

$$|\angle PAC|+|\angle CMP| =\varphi+(180^\circ-\varphi) =180^\circ$$

iz čega slijedi da se točka $M$ nalazi na opisanoj kružnici trokuta $APC$, odnosno da je točka $M$ na polukružnici $k$.