1. Zadatak

Neka je $x=k+r$, gdje je $k=\lfloor x\rfloor$ i $r=\{x\}$. Iz uvjeta zadatka slijedi da brojevi $k$, $r$ i $k+r$ čine aritmetički niz. Kako je $x\geq0$, slijedi $k\geq0$.

Vidimo da je $k+r\geq k$ i $k+r\geq r$, pa je $k+r$ najveći član niza.

Ako je $k$ najmanji član niza, tada je $k\leq r<1$ pa je $k=0$. Tada brojevi $0$, $r$ i $r$ čine aritmetički niz pa je $r=0$ i dobivamo rješenje $x=0$.

Ako je $r$ najmanji član niza, onda vrijedi

$$k=\frac12(r+(k+r)).$$

Slijedi da je $r=\frac{k}{2}$.

Kako je $r<1$, mora vrijediti $k<2$.

Za $k=0$ dobivamo da je $r=0$ i ponovno dobivamo rješenje $x=0$.

Za $k=1$ dobivamo da je $r=\frac12$ i dobivamo rješenje $x=\frac32$.