2. Zadatak

Prvo rješenje

Pretpostavimo da $z$ nije realan broj.

Neka je $t$ realan broj takav da je

$$\frac{6z^2+5z+6}{3z^2+10z+3}=t.$$

Tada je

$$6z^2+5z+6=t(3z^2+10z+3),$$

odnosno

$$(6-3t)z^2+(5-10t)z+(6-3t)=0.$$

Ako je $6-3t=0$, onda je $z=0$, što je u suprotnosti s pretpostavkom da $z$ nije realan.

Ako je $6-3t\neq0$, onda imamo kvadratnu jednadžbu s realnim koeficijentima kojoj jedno od rješenja nije realno. Slijedi da rješenja čine kompleksno konjugirani par, pa su $z$ i $\overline z$ rješenja gornje jednadžbe.

Iz Vièteovih formula slijedi da je

$$|z|^2=z\cdot\overline z=\frac{6-3t}{6-3t}=1.$$

Dakle, vrijedi $|z|=1$.

Drugo rješenje

Pretpostavimo da $z$ nije realan.

Posebno, $z\neq0$, pa podijelimo brojnik i nazivnik izraza sa $z$. Dobivamo izraz

$$\frac{6z+5+\frac6z}{3z+10+\frac3z}.$$

Neka je $w=z+\frac1z$. Tada izraz možemo zapisati kao

$$\frac{6w+5}{3w+10}.$$

Taj broj je realan ako i samo ako je jednak svom kompleksnom konjugatu, odnosno ako i samo ako je

$$\frac{6w+5}{3w+10} =\frac{6\overline w+5}{3\overline w+10}.$$

Množenjem s nazivnicima dobivamo uvjet

$$18w\overline w+60w+15\overline w+50 =18w\overline w+15w+60\overline w+50,$$

iz čega slijedi $w=\overline w$. Dakle, $w=z+\frac1z$ realan broj.

Neka su $x$ i $y$ realni brojevi takvi da je $z=x+iy$. Tada je

$$\begin{aligned} z+\frac1z &=x+iy+\frac1{x+iy}\\ &=x+iy+\frac{x-iy}{x^2+y^2}\\ &=\frac{x(x^2+y^2+1)+iy(x^2+y^2-1)}{x^2+y^2}. \end{aligned}$$

Kako je $z+\frac1z$ realan, slijedi

$$y(x^2+y^2-1)=0.$$

Budući da $z$ nije realan, $y\neq0$, pa je $|z|^2=x^2+y^2=1$, tj. $|z|=1$. .

Treće rješenje

Pretpostavimo da $z$ nije realan. Neka je $z=x+yi$ za $x,y\in\mathbb R$ i $y\neq0$.

Izraz koji promatramo je tada jednak

$$\frac{(6(x^2-y^2)+5x+6)+(12xy+5y)i} {(3(x^2-y^2)+10x+3)+(6xy+10y)i}.$$

Ako racionaliziramo ovaj razlomak, odnosno pomnožimo brojnik i nazivnik kompleksnim konjugatom nazivnika, dobivamo

$$\frac{ \bigl((6(x^2-y^2)+5x+6)+(12xy+5y)i\bigr) \cdot \bigl((3(x^2-y^2)+10x+3)-(6xy+10y)i\bigr) }{ (3(x^2-y^2)+10x+3)^2+(6xy+10y)^2 }.$$

Kako je nazivnik realan, slijedi da je imaginarni dio brojnika jednak $0$.

S druge strane, imaginarni dio brojnika je

$$\begin{aligned} &(3(x^2-y^2)+10x+3)(12xy+5y)\\ &\quad-(6(x^2-y^2)+5x+6)(6xy+10y)\\ &=45y(x^2+y^2-1). \end{aligned}$$

Budući da je $y\neq0$, nužno je $|z|^2=x^2+y^2=1$, tj. $|z|=1$.