8. Zadatak

Prvo rješenje.

Uočimo da svaki od igrača može postići da oni u dva uzastopna poteza zajedno uzmu 101 kamenčić. Npr. Ratko može postići da on u svom potezu i Rudi u prethodnom potezu uzmu 101 kamenčić. Ako je Rudi uzeo 1 kamenčić, Ratko uzima 100 kamenčića; ako je Rudi uzeo 3 kamenčića, Ratko ih uzima 98 itd.

Budući da je $1234=12\cdot101+22$, Ratko treba igrati ovako:

U svom prvom potezu Ratko uzima 22 kamenčića.

Nakon toga, ako je Rudi uzeo $x$ kamenčića, onda Ratko uzima $101-x$ kamenčića (što je paran broj, jer je $x$ neparan).

Nakon Ratkovog dvanaestog poteza na stolu ostaje još 101 kamenčić.

Nakon što Rudi odigra svoj potez, na stolu će ostati paran broj (najviše 100) kamenčića, koje Ratko može sve uzeti i tako pobijediti.

Dakle, Ratko ima pobjedničku strategiju.

Drugo rješenje.

Rješavamo zadatak analizom dobitnih i gubitnih pozicija.

Pozicija je dobitna (za igrača koji je sljedeći na potezu) ako postoji potez koji vodi u poziciju koja je gubitna za protivnika ili ako igrač može uzeti sve kamenčiće. Pozicija je gubitna za igrača na potezu ako svaki njegov potez iz te pozicije vodi u dobitnu poziciju za protivnika.

Za Rudija su pozicije 1, 3, 5, $\ldots$, 99 dobitne jer može uzeti sve kamenčiće. Te iste pozicije su za Ratka gubitne, jer koliko god uzeo kamenčića ostat će neparno mnogo kamenčića koje Rudi može sve uzeti.

Za Ratka su sve pozicije u kojima je preostalo 2, 4, 6, $\ldots$, 100 kamenčića dobitne jer tada može uzeti sve kamenčiće. Te pozicije su dobitne i za Rudija jer može uzeti jedan kamenčić i ostaviti neparan broj kamenčića od 1 do 99, što je gubitna pozicija za Ratka.

Pozicija 101 je gubitna i za Ratka i za Rudija jer ni jedan ni drugi ne mogu uzeti sve kamenčiće, a koliko god uzeli kamenčića, dovode protivnika u dobitnu poziciju prema prethodnom razmatranju.

Za Rudija su pozicije 102, 104, $\ldots$, 200 dobitne, jer može nakon svog poteza ostaviti na stolu 101 kamenčić. Za Ratka su te pozicije gubitne jer nakon njegovog poteza ostaje parno mnogo kamenčića, a sve su takve pozicije prema dosadašnjem razmatranju dobitne za Rudija.

Za Ratka su pozicije 103, 105, $\ldots$, 201 dobitne, jer može nakon svog poteza ostaviti na stolu 101 kamenčić. Za Rudija su te pozicije također dobitne jer može uzeti jedan kamenčić i ostaviti paran broj kamenčića od 102 do 200, što je gubitna pozicija za Ratka.

Pozicija 202 je također gubitna za oba igrača.

Ovim načinom razmišljanja zaključujemo da su pozicije koje su višekratnici broja 101 gubitne za oba igrača.

Ukoliko je $n=k\cdot101+m$, za $1\le m\le100$, onda je $n$ dobitna pozicija za Rudija. Ako su $k$ i $m$ iste parnosti onda je $n$ dobitna pozicija za Ratka, a ako su $k$ i $m$ različite parnosti, onda je $n$ gubitna pozicija za Ratka.

Budući da je $1234=12\cdot101+22$, zaključujemo da je ta pozicija dobitna za Ratka, tj. budući da je Ratko prvi na potezu, on ima strategiju kako pobijediti bez obzira kako Rudi igrao.

Ratko u prvom krugu uzima 22 kamenčića i u svakom sljedećem igra tako da broj kamenčića koji ostaju na stolu bude višekratnik od 101.