6. Zadatak

Neka je $n>1$ prirodni broj čiji djelitelji čine geometrijski niz. Očito je najmanji djelitelj od $n$ broj 1. Neka je $d$ najmanji djelitelj od $n$ veći od 1. Uočimo, $d$ je prost.

Zbog uvjeta zadatka, svi djelitelji broja $n$ članovi su geometrijskog niza $(d^k)_{k\in\mathbb N}$, tj. potencije su prostog broja $d$.

To vrijedi i za sam broj $n$, dakle $n$ je nužno potencija prostog broja $d$.

To je i dovoljno, to jest svi brojevi oblika $n=d^k$, $k\in\mathbb N$, gdje je $d$ prost broj, zadovoljavaju uvjet zadatka.

Zaista, svi djelitelji takvog broja $d^k$ su brojevi $1,d,d^2,\ldots,d^{k-1},d^k$ i oni čine geometrijski niz.