5. Zadatak

Suma kutova konveksnog $n$-terokuta iznosi $(n-2)\cdot180^\circ$. S druge strane, suma kutova $\alpha,2\alpha,\ldots,n\alpha$ je

$$(1+2+\cdots+n)\cdot\alpha=\frac{n(n+1)}2\cdot\alpha.$$

Iz jednakosti

$$\frac{n(n+1)}2\cdot\alpha=(n-2)\cdot180^\circ$$

slijedi

$$\alpha=\frac{2(n-2)}{n(n+1)}\cdot180^\circ.$$

Da bi mnogokut bio konveksan, moraju mu svi kutovi biti manji od ispruženog, dakle $n\alpha<180^\circ$. Time smo dobili uvjet

$$\frac{2(n-2)}{n+1}<1,$$

iz čega slijedi $n<5$. Dakle, jedina moguća rješenja su $n=3$ i $n=4$.

Lako je vidjeti da su to zaista rješenja: za $n=3$ iz $\alpha+2\alpha+3\alpha=180^\circ$ slijedi $\alpha=30^\circ$, pa su kutovi trokuta $30^\circ,60^\circ$ i $90^\circ$. Za $n=4$ iz $\alpha+2\alpha+3\alpha+4\alpha=360^\circ$ slijedi $\alpha=36^\circ$, pa uvjet zadovoljava bilo koji četverokut s kutovima $36^\circ,72^\circ,108^\circ$ i $144^\circ$.