2. Zadatak

Prvo rješenje.

Skup svih točaka u ravnini čija razlika udaljenosti od točaka $z_1=1$ i $z_2=-1$ iznosi $\sqrt3$ je hiperbola.

Fokusi te hiperbole su točke $z_1=1$ i $z_2=-1$, tj. žarišna udaljenost $e$ je 1, a iz uvjeta vidimo i da je velika os hiperbole $2a$ jednaka $\sqrt3$.

Zato je velika poluos $a=\frac{\sqrt3}{2}$, mala poluos $b=\frac12$, tjemena su u točkama $\frac{\sqrt3}{2}$ i $-\frac{\sqrt3}{2}$, a koeficijenti smjera asimptota su

$$\pm\frac ba=\pm\frac1{\sqrt3}.$$

Primijetimo da je za točke koje tražimo udaljenost od točke $z_1=1$ veća od udaljenosti od točke $z_2=-1$, pa je rješenje lijeva grana opisane hiperbole.

Drugo rješenje.

Uvrštavanjem $z=x+iy$ slijedi:

$$\sqrt{(x-1)^2+y^2}-\sqrt{(x+1)^2+y^2}=\sqrt3.$$

Kvadriranjem dobivamo

$$\begin{aligned} (x-1)^2+y^2-2\sqrt{((x-1)^2+y^2)((x+1)^2+y^2)}+(x+1)^2+y^2&=3,\\ 2x^2+2y^2+2-2\sqrt{(x^2+y^2+1-2x)(x^2+y^2+1+2x)}&=3,\\ (2x^2+2y^2-1)^2&=4\big((x^2+y^2+1)^2-(2x)^2\big). \end{aligned}$$

te nakon sređivanja dobivamo

$$4x^2-12y^2=3.$$

Odnosno

$$\frac{x^2}{3/4}-\frac{y^2}{1/4}=1.$$

Dobili smo jednadžbu hiperbole kojoj su poluosi $a=\frac{\sqrt3}{2}$, $b=\frac12$, asimptote $y=\pm\frac{\sqrt3}{3}x$, a fokusi u točkama $(1,0)$ i $(-1,0)$.

Zadani uvjet zadovoljavaju samo točke za koje je

$$\sqrt{(x-1)^2+y^2}>\sqrt{(x+1)^2+y^2},$$

što je ekvivalentno s $(x-1)^2>(x+1)^2$, odnosno $x<0$. Dakle, rješenje je lijeva grana opisane hiperbole.

Skica je prikazana uz prvo rješenje.