5. Zadatak

Prvo rješenje.

Na početku se na ploči nalaze jedan paran i dva neparna broja.

Dokažimo da će nakon svakog koraka na ploči također biti napisan jedan paran i dva neparna broja.

Bez smanjenja općenitosti pretpostavimo da je u nekom trenutku broj $a$ paran, a brojevi $b$ i $c$ neparni. Tada su brojevi $3a-b$ i $3c-a$ neparni, a broj $3b-c$ paran, što znači da i nakon koraka opet imamo dva neparna i jedan parni broj.

Dakle, nije moguće da na ploči nakon nekog koraka sva tri broja budu parna ili sva tri neparna, što znači da nije moguće postići da su sva tri broja jednaka.

Drugo rješenje.

Pretpostavljamo da je moguće postići da su nakon nekog koraka svi brojevi jednaki, tj. da u nekom trenutku vrijedi

$$3a-b=3b-c=3c-a=t.$$

Riješimo taj sustav, tj. izrazimo $a$, $b$ i $c$ pomoću $t$.

Vrijedi

$$\begin{aligned} b&=3a-t,\\ c&=3b-t=9a-4t,\\ a&=3c-t=27a-13t. \end{aligned}$$

pa iz $26a=13t$ slijedi $a=\frac{t}{2}$ i dalje je $b=\frac{t}{2}$ i $c=\frac{t}{2}$, tj. $a=b=c$.

To znači da možemo dobiti tri jednaka broja samo ako smo u prethodnom koraku imali tri jednaka broja.

Zaključujemo da nije moguće dobiti tri jednaka broja ako krenemo od brojeva $2009$, $2012$ i $2015$.

Treće rješenje.

Pretpostavimo da je moguće postići da se nakon nekog koraka na ploči nalaze tri jednaka broja.

Neka se to prvi put dogodi kada iz trojke $x$, $y$, $z$ prelazimo na trojku $3x-y$, $3y-z$, $3z-x$. Drugim riječima, pretpostavimo da je $3x-y=3y-z=3z-x$, a da brojevi $x$, $y$ i $z$ nisu svi jednaki.

Nadalje, bez smanjenja općenitosti pretpostavimo da je $x\ge y$ i $x\ge z$.

Zbog jednakosti $3x-y=3z-x$ zaključujemo

$$4x=3z+y\le3x+x=4x.$$

Prethodna nejednakost je moguća samo u slučaju $x=y=z$, što je u kontradikciji s pretpostavkom da $x$, $y$ i $z$ nisu svi jednaki.

Zaključujemo da nije moguće u nekom koraku dobiti tri jednaka broja ako u prethodnom koraku nismo već imali tri jednaka broja. To znači da Željko ne može postići da na ploči pišu tri jednaka broja.