4. Zadatak

Kvadriranjem trinoma i sređivanjem jednakosti dobivamo

$$\begin{aligned} (x+y+2012)^2&=x^2+y^2+2012^2\\ x^2+y^2+2012^2+2xy+2x\cdot2012+2y\cdot2012&=x^2+y^2+2012^2\\ xy+x\cdot2012+y\cdot2012&=0\\ xy+2012x+2012y+2012^2&=2012^2\\ (x+2012)(y+2012)&=2012^2. \end{aligned}$$

Vrijedi $2012^2=2^4\cdot503^2$, a $503$ je prost broj. (Odmah vidimo da nije djeljiv s $2$, $3$ i $5$. Dovoljno je provjeriti da $503$ nije djeljiv sa $7$, $11$, $13$, $17$ i $19$, jer je $23\cdot23=529>503$.)

Stoga je broj pozitivnih djelitelja broja $2012^2$ jednak $(4+1)\cdot(2+1)=15$, a ukupan broj djelitelja jednak je $30$, što je ujedno broj mogućih prikaza broja $2012^2$ u obliku umnoška dvaju faktora.

Svakom prikazu desne strane u obliku umnoška dvaju faktora odgovara jedno rješenje dane jednadžbe. (Za bilo koje $a,b\in\mathbb{Z}$ za koje je $a\cdot b=2012^2$ postoje jedinstveni $x,y\in\mathbb{Z}$ takvi da je $x+2012=a$, $y+2012=b$.)

Zato dana jednadžba ima $30$ rješenja u skupu $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$.

Napomena: Djelitelji broja $2012^2$ su:

$$\begin{gathered} -16\cdot503^2,\ -8\cdot503^2,\ -4\cdot503^2,\ -2\cdot503^2,\ -503^2,\\ -16\cdot503,\ -8\cdot503,\ -4\cdot503,\ -2\cdot503,\ -503,\\ -16,\ -8,\ -4,\ -2,\ -1,\ 1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 503,\\ 2\cdot503,\ 4\cdot503,\ 8\cdot503,\ 16\cdot503,\ 503^2,\\ 2\cdot503^2,\ 4\cdot503^2,\ 8\cdot503^2,\ 16\cdot503^2. \end{gathered}$$