2. Zadatak

Prvo rješenje.

Prema uvjetima zadatka, vrijedi

$$x^2<1<(1-x)^2\qquad\text{ili}\qquad(1-x)^2<1<x^2. \tag{*}$$

U prvom slučaju je

$$x^2<1,\qquad\text{tj.}\qquad x\in\langle-1,1\rangle$$

i

$$(1-x)^2>1,\qquad\text{odnosno}\qquad x^2-2x>0,\qquad\text{tj.}\qquad x\in\langle-\infty,0\rangle\cup\langle2,\infty\rangle.$$

Oba uvjeta su ispunjena za $x\in\langle-1,0\rangle$.

U drugom slučaju je

$$x^2>1,\qquad\text{tj.}\qquad x\in\langle-\infty,-1\rangle\cup\langle1,\infty\rangle$$

i

$$(1-x)^2<1,\qquad\text{odnosno}\qquad x^2-2x<0,\qquad\text{tj.}\qquad x\in\langle0,2\rangle.$$

Oba uvjeta zadovoljavaju $x\in\langle1,2\rangle$.

To znači da je uvjet $(*)$ ekvivalentan s $x\in\langle-1,0\rangle\cup\langle1,2\rangle$.

Odredimo kada vrijedi nejednakost $0<x^2-x<2$.

Iz $x(x-1)>0$ dobivamo $x\in\langle-\infty,0\rangle\cup\langle1,\infty\rangle$, a iz $x^2-x-2=(x-2)(x+1)<0$ dobivamo $x\in\langle-1,2\rangle$.

Obje nejednakosti vrijede za $x\in\langle-1,0\rangle\cup\langle1,2\rangle$, i time smo dokazali da brojevi za koje vrijedi $(*)$ zadovoljavaju $0<x^2-x<2$.

Drugo rješenje.

Prema uvjetima zadatka, vrijedi

$$x^2<1<(1-x)^2\qquad\text{ili}\qquad(1-x)^2<1<x^2$$

odnosno

$$x^2-1<0<(1-x)^2-1\qquad\text{ili}\qquad(1-x)^2-1<0<x^2-1$$

tj.

$$x^2-1<0<x^2-2x\qquad\text{ili}\qquad x^2-2x<0<x^2-1.$$

U oba slučaja očito vrijedi

$$(x^2-1)(x^2-2x)<0.$$

Kako je $x^2-1=(x^2-x)+(x-1)$ i $x^2-2x=(x^2-x)-x$, vrijedi

$$\bigl((x^2-x)+(x-1)\bigr)\bigl((x^2-x)-x\bigr)<0$$ $$(x^2-x)^2+(x-1)(x^2-x)-x(x^2-x)-x(x-1)<0$$ $$(x^2-x)^2-2(x^2-x)<0$$ $$(x^2-x)(x^2-x-2)<0. \tag{*}$$

Kako je $x^2-x-2<x^2-x$, iz nejednakosti $(*)$ slijedi

$$x^2-x>0\qquad\text{i}\qquad x^2-x-2<0,$$

a to je upravo ono što smo htjeli pokazati, $0<x^2-x<2$.