1. Zadatak

Prvo rješenje.

Iz uvjeta zadatka imamo

$$\frac1z=2020+2020i.$$

Slijedi da je

$$z=\frac1{2020+2020i} =\frac1{2020}\cdot\frac1{1+i}\cdot\frac{1-i}{1-i} =\frac1{4040}(1-i).$$

Argument broja $z$ je isti kao argument broja $1-i$, što možemo odrediti crtajući u kompleksnoj ravnini. Traženi kut iznosi

$$\varphi=315^\circ=\frac{7\pi}{4}.$$

Drugo rješenje.

Zapišimo kompleksni broj $z$ u obliku $z=x+yi$, gdje su $x$ i $y$ realni brojevi. Tada je

$$\frac1z=\frac{\overline z}{z\cdot\overline z} =\frac{\overline z}{|z|^2} =\frac{x-yi}{x^2+y^2}.$$

Vidimo da je

$$\operatorname{Re}\frac1z=\frac{x}{x^2+y^2} \quad\text{i}\quad \operatorname{Im}\frac1z=\frac{-y}{x^2+y^2},$$

odnosno

$$\frac{x}{x^2+y^2}=\frac{-y}{x^2+y^2}=2020,$$

iz čega slijedi da je $x=-y$ i $x=2020(x^2+y^2)$.

Budući da je $x\ne0$, rješavanjem tog sustava dobivamo $x=\frac1{4040}$ i $y=-\frac1{4040}$.

Tada je $\tan\varphi=\frac yx=-1$.

Slijedi da je argument $\varphi=\frac{7\pi}{4}$.