6. Zadatak

Pravcu koji prolazi točkom $(2,1)$ pripada jednadžba $y=a(x-2)+1$, za neki realni parametar $a$. Stoga su koordinate krajnjih točaka dužine iz zadatka rješenja sustava

$$\begin{aligned} y^2&=x,\\ y&=a(x-2)+1. \end{aligned}$$

Ordinate tih točaka su rješenja kvadratne jednadžbe

$$ay^2-y+(1-2a)=0.$$

Primijetimo da je apscisa polovišta dužine iz zadatka uvijek pozitivan broj, stoga upravo vrijednost te apscise trebamo minimizirati.

Ako točke $A$ i $B$ imaju koordinate $(x_1,y_1)$ i $(x_2,y_2)$, onda je vrijednost koju želimo minimizirati jednaka

$$\begin{aligned} \frac{x_1+x_2}{2} &=\frac{y_1^2+y_2^2}{2}\\ &=\frac{(y_1+y_2)^2-2y_1y_2}{2}\\ &=\frac{\left(\frac1a\right)^2-2\cdot\frac{1-2a}{a}}{2}\\ &=\frac1{2a^2}-\frac1a+2, \end{aligned}$$

pri čemu smo u prvom retku koristili činjenicu da su $y_1$ i $y_2$ rješenja dobivene kvadratne jednadžbe, te iskoristili Vièteove formule.

Neka je $t=\frac1a$; kvadratna jednadžba $\frac12t^2-t+2$ postiže minimum u točki $t=1$.

Dakle, traženu minimalnu udaljenost postižemo za realni parametar $a=1$.

Ta minimalna udaljenost iznosi $\frac32$, a točke za koje se postiže su

$$\left(\frac{3+\sqrt5}{2},\frac{1+\sqrt5}{2}\right) \quad\text{i}\quad \left(\frac{3-\sqrt5}{2},\frac{1-\sqrt5}{2}\right).$$