5. Zadatak

Treba odrediti zbroj svih prirodnih brojeva $n<1000$ takvih da broj $2^n$ pri dijeljenju s $11$ daje ostatak $10$.

Promotrimo ostatke koje brojevi $2^n$ daju pri dijeljenju s $11$:

$2^n$	$2^1$	$2^2$	$2^3$	$2^4$	$2^5$	$2^6$	$2^7$	$2^8$	$2^9$	$2^{10}$	$2^{11}$	$\ldots$
ostatak	$2$	$4$	$8$	$5$	$10$	$9$	$7$	$3$	$6$	$1$	$2$	$\ldots$

Dakle, zaključujemo da prirodni broj $2^n$ daje ostatak $10$ pri dijeljenju s $11$ ako i samo ako je $n=10k+5$, za neki cijeli broj $k\geq0$.

Moramo odrediti zbroj

$$5\cdot1+5\cdot3+5\cdot5+\cdots+5\cdot197+5\cdot199.$$

No, taj zbroj je jednak

$$5\cdot(1+3+5+\cdots+197+199)=5\cdot100^2=50000.$$