7. Zadatak

Kako je $d_4=5$, vidimo da točno jedan od brojeva $1$, $2$, $3$, $4$ i $5$ nije djelitelj broja $n$.

Brojevi $1$ i $5$ su očito djelitelji broja $n$. Ako broj $2$ nije djelitelj broja $n$, onda nije ni broj $4$, što je nemoguće. Dakle, broj $2$ je također djelitelj broja $n$.

Sada imamo dvije mogućnosti. Prva mogućnost je da je $d_1=1$, $d_2=2$, $d_3=3$ i $d_4=5$. Primijetimo da je tada i broj $6$ djelitelj broja $n$, pa zaključujemo da je nužno $d_5=6$.

Iz drugog uvjeta imamo da je $d_7=d_5^2+1=37$, pa broj $n$ ima barem četiri različita prosta faktora ($2$, $3$, $5$, $37$), što znači da ima barem $16$ djelitelja, što je kontradikcija.

Druga mogućnost je da je $d_1=1$, $d_2=2$, $d_3=4$ i $d_4=5$. Vidimo da je tada i broj $10$ djelitelj broja $n$, što znači da je $d_5\leq10$.

Budući da $3$ nije djelitelj od $n$, $d_5$ ne može biti ni $6$ ni $9$.

Preostaje provjeriti mogućnosti da je $d_5$ jednak $7$, $8$ ili $10$.

Ako je $d_5=7$, onda je $d_7=7^2+1=50$, pa bi između $d_5$ i $d_7$ trebali biti i drugi djelitelji od $50$ poput $10$ i $25$, što je nemoguće. Ako je $d_5=8$, onda je $d_7=8^2+1=65$, pa analogno dobivamo kontradikciju jer bi između $d_5$ i $d_7$ trebao biti i broj $13$ i broj $26$.

Ako je $d_5=10$, onda bi trebalo vrijediti $d_7=10^2+1=101$, što je prost broj. Budući da je $n$ djeljiv s $4$ i $5$, jedina mogućnost bi bila $d_6=20$.

Djelitelje broja $n$ možemo upariti tako da im umnožak bude jednak $n$, tj. vrijedi $d_i\cdot d_{13-i}=n$ za svaki $i\in\{1,2,\ldots,12\}$. Posebno, mora biti

$$n=d_6\cdot d_7=20\cdot101=2020.$$

Preostaje provjeriti da broj $n=2020$ zaista zadovoljava sve uvjete zadatka, tj. da između $20$ i $101$ nema drugih djelitelja i da ima točno $12$ djelitelja. Oba uvjeta možemo jednostavno provjeriti ispisujući sve djelitelje broja $2020$. To su redom

$$1,\ 2,\ 4,\ 5,\ 10,\ 20,\ 101,\ 202,\ 404,\ 505,\ 1010,\ 2020.$$

Napomena. Jednom kad se zaključi da je $d_5\leq10$, moguće je zaključivati i na sljedeći način. Primijetimo da je i broj $20$ djelitelj broja $n$. Ako pretpostavimo da je $d_5<10$, onda je $d_6\leq10$ te $d_7\leq20$. Imamo da je $d_5^2+1=d_7\leq20$, iz čega slijedi da je $d_5\leq4$, što je kontradikcija s činjenicom da je $d_5>d_4=5$. Dakle, nužno je $d_5=10$.