3. Zadatak

Prvo rješenje.

Tri uzastopna bacanja kockice određuju uređenu trojku $(a,b,c)$ brojeva $a$, $b$ i $c$ iz skupa $\{1,2,3,4,5,6\}$. Broj $a$ je broj koji je pao pri prvom bacanju, broj $b$ je broj koji je pao pri drugom, a broj $c$ je onaj koji je pao pri trećem bacanju kockice. Ono što moramo odrediti je vjerojatnost da je $a\leq b\leq c$.

Za svaki od brojeva $a$, $b$ i $c$ imamo $6$ mogućnosti, stoga je svih mogućih ishoda bacanja kockice triput zaredom

$$6\cdot6\cdot6=216.$$

Prebrojimo sada povoljne ishode. Ako je pri prvom bacanju pao broj $1$, tj. ako je $a=1$, onda $b$ može biti bilo koji broj s kockice, a $c$ mora biti iz skupa $\{b,b+1,\ldots,6\}$.

Dakle, ako je $a=1$, onda za $b=1$ imamo $6$ mogućnosti za $c$, za $b=2$ imamo $5$ mogućnosti za $c$ itd., a za $b=6$ imamo $1$ mogućnost za $c$. Dakle, za $a=1$ imamo ukupno

$$6+5+4+3+2+1=21$$

dobar ishod.

Sličnim razmišljanjem zaključujemo da za

$$\begin{aligned} a=2&\text{ imamo }5+4+3+2+1=15\text{ dobrih ishoda},\\ a=3&\text{ imamo }4+3+2+1=10\text{ dobrih ishoda},\\ a=4&\text{ imamo }3+2+1=6\text{ dobrih ishoda},\\ a=5&\text{ imamo }2+1=3\text{ dobra ishoda},\\ a=6&\text{ imamo }1\text{ dobar ishod}. \end{aligned}$$

Dakle, ukupno imamo $21+15+10+6+3+1=56$ dobrih ishoda.

Konačno, tražena vjerojatnost je

$$\frac{56}{216}=\frac7{27}.$$

Drugo rješenje.

Kao u prvom rješenju, ishod bacanja kockice triput zaredom možemo prezentirati uređenom trojkom $(a,b,c)$ brojeva iz skupa $\{1,2,3,4,5,6\}$. Za svaki od brojeva $a$, $b$ i $c$ imamo $6$ mogućnosti, stoga je svih mogućih ishoda bacanja kockice triput zaredom $6\cdot6\cdot6=216$.

Želimo odrediti broj ishoda bacanja za koja vrijedi da je $a\leq b\leq c$. Neka su takvi ishodi dobri ishodi. Za svaki dobar ishod, promatrajmo trojku $(a,b+1,c+2)$. Primijetimo da je to uvijek trojka međusobno različitih brojeva iz skupa $\{1,2,\ldots,8\}$.

Primijetimo također da za bilo koja tri međusobno različita broja iz skupa $\{1,2,\ldots,8\}$ dobijemo dobar ishod $(a,b,c)$, gdje je $c$ za $2$ manji od najvećeg, $b$ za $1$ manji od srednjeg po veličini i $a$ jednak najmanjem od ta tri broja.

Zaključujemo da je dobrih ishoda

$$\binom83=56.$$

Konačno, tražena vjerojatnost je $\frac{56}{216}=\frac7{27}$.