2. Zadatak

Svaki sportaš će promijeniti položaj onoliko puta koliko njegov broj ima djelitelja. Dakle, na kraju će u čučnju biti oni sportaši čiji brojevi imaju neparan broj djelitelja.

Sve djelitelje broja $n$ možemo grupirati u dvočlane skupove $\{d,\frac nd\}$, osim ako je $n=d^2$ za neki prirodni broj $d$ kada umjesto jednog dvočlanog skupa imamo jednočlan skup (jer je $\frac nd=d$). To znači da prirodni broj ima neparno mnogo djelitelja ako i samo ako je potpun kvadrat.

Među brojevima $1,\ldots,2014$ kvadrati su $1^2,2^2,\ldots,44^2$ (jer je $44^2=1936$ i $45^2=2025$).

U čučnju će ostati 44 sportaša.

Napomena. Tvrdnju da prirodni broj ima neparno mnogo djelitelja ako i samo ako je potpun kvadrat možemo dokazati i na sljedeći način. Ako je $n=p_1^{k_1}\cdots p_s^{k_s}$, gdje su $p_i$ različiti prosti brojevi i $k_i\ge 1$, tada $n$ ima $(k_1+1)\cdots(k_s+1)$ djelitelja (faktor $p_i$ se može pojaviti između 0 i $k_i$ puta u djelitelju). Dakle, broj djelitelja broja $n$ je neparan ako i samo ako su svi brojevi $k_i$ parni.