4. Zadatak

Prvo rješenje.

Jednadžbu možemo pisati ovako: $$(x+y)^2-z^2=202,$$ $$(x+y-z)(x+y+z)=202.$$ Brojevi $(x+y-z)$ i $(x+y+z)$ su iste parnosti (jer im je suma $(x+y-z)+(x+y+z)=2(x+y)$ paran broj). Kako je umnožak ta dva broja paran broj, onda svaki od njih također mora biti paran. To znači da je lijeva strana zadane jednadžbe djeljiva s 4, dok desna strana očito nije, pa zaključujemo da jednadžba nema cjelobrojnih rješenja.

Drugo rješenje.

Zapišimo jednadžbu u obliku $$(x+y)^2-z^2=202.$$ Budući da kvadrat nekog cijelog broja može davati ostatak 0 ili 1 pri dijeljenju s 4 zaključujemo da lijeva strana te jednadžbe daje ostatak 0, 1 ili $-1$ (odnosno 3) pri dijeljenju s 4.

S druge strane, broj 202 daje ostatak 2 pri dijeljenju s 4 pa zaključujemo da zadana jednadžba nema cjelobrojnih rješenja.