7. Zadatak

Prvo rješenje.

Polaznu jednadžbu transformiramo: $$(2^x-1)(2^y-1)=a+1.$$ Da bi jednadžba imala rješenja, nužno je i dovoljno da je $a+1$ umnožak faktora oblika $2^x-1$, gdje je $x$ neki prirodni broj.

S obzirom da $a+1$ mora biti dvoznamenkast, ti faktori mogu biti isključivo 1, 3, 7, 15, 31 i 63.

Mogućnosti za $a+1$ su sljedeće: $$15=1\cdot15,\ 21=3\cdot7,\ 31=1\cdot31,\ 45=3\cdot15,\ 49=7\cdot7,\ 63=1\cdot63,\ 93=3\cdot31.$$ Moguće vrijednosti za $a$ su, dakle: $$14,\ 20,\ 30,\ 44,\ 48,\ 62,\ 92.$$ Drugo rješenje.

Zadanu jednadžbu možemo pisati na sljedeći način: $$a=2^{x+y}-2^x-2^y,$$ $$a=2^{x+y}-2^x-2^y+1-1,$$ $$a=(2^x-1)(2^y-1)-1.$$ Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da je $x\le y$.

Razlikujemo nekoliko slučajeva:

1. slučaj: $x=1$

Tada je $a=2^y-2$, a kako je $10\le a\le99$, mora vrijediti da je $12\le2^y\le101$. Ovo očito zadovoljavaju brojevi $y\in\{4,5,6\}$ i uvrštavanjem tih vrijednosti za $y$, dobivamo $a\in\{14,30,62\}$.

2. slučaj: $x=2$

U ovom slučaju je $a=3\cdot2^y-4$. Opet iz uvjeta $10\le a\le99$ dobivamo da je $\frac{14}{3}\le2^y\le\frac{103}{3}$, pa je rješenje $y\in\{3,4,5\}$, odnosno $a\in\{20,44,92\}$.

3. slučaj: $x=3$

Sada je $a=7\cdot2^y-8$, pa je $\frac{18}{7}\le2^y\le\frac{107}{7}$. Rješenja su $y\in\{2,3\}$, pa uvrštavanjem dobijemo da je $a\in\{20,48\}$.

4. slučaj: $x\ge4$

Zbog pretpostavke $x\le y$ imamo $a=(2^x-1)(2^y-1)-1\ge(2^4-1)(2^4-1)-1=224$ i zaključujemo da ovaj slučaj nema rješenja.

Uzimanjem unije rješenja sva tri slučaja dobivamo da uvjete zadatka zadovoljavaju brojevi iz skupa $\{14,20,30,44,48,62,92\}$.