8. Zadatak

Neka je $ABCD$ promatrani trapez, s tim da je $\angle DAB=\angle CDA=90^\circ$ i $|AB|>|CD|$. Neka je $O$ središte kružnice upisane trapezu, $r$ njen polumjer, a $P$, $Q$, $R$ i $S$ dirališta te kružnice sa stranicama $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$ i $\overline{AD}$ redom.

Tada je $|OB|=20$, $|OC|=15$.

Uočimo $|PB|=|BQ|$, $|QC|=|CR|$ i $\angle ABO=\angle OBC$, $\angle BCO=\angle OCD$. Trokuti $POB$ i $QOB$ su sukladni, kao i trokuti $CQO$ i $CRO$.

Četverokuti $APOS$ i $SORD$ su kvadrati stranice duljine $r$.

Stoga je $$\begin{aligned} P&=P(APOS)+P(SORD)+P(OPB)+P(OQB)+P(OQC)+P(ORC)\\ &=2r^2+2[P(OQB)+P(OQC)]\\ &=2r^2+2P(OBC). \end{aligned}$$ Označimo $\alpha=\angle ABO=\angle OBC$. Tada je $\angle BCO=\angle OCD=90^\circ-\alpha$, jer je $\angle ABC+\angle BCD=180^\circ$. Promatrajući kutove trokuta $BCO$ zaključujemo da je $\angle BOC=90^\circ$. Dakle, trokut $OBC$ je pravokutan.

Koristeći Pitagorin teorem možemo izračunati duljinu stranice $\overline{BC}$ trokuta $OBC$: $$|BC|=\sqrt{|OB|^2+|OC|^2}=\sqrt{20^2+15^2}=25.$$ Polumjer upisane kružnice $\overline{OQ}$ je visina pravokutnog trokuta $OBC$, pa je $$r=\frac{|OB||OC|}{|BC|}=\frac{20\cdot15}{25}=12.$$ Sada možemo izračunati traženu površinu: $$P=2r^2+|OB|\cdot|OC|=2\cdot12^2+20\cdot15=588.$$ Varijacije.

Način računanja površine.

Površina trapeza je $P=\frac12(|AB|+|CD|)\cdot|AD|$.

Kako je ovaj trapez tangencijalan, vrijedi $|AB|+|CD|=|BC|+|DA|$.

Kao u gornjem rješenju odredimo $|BC|=25$ i $r=12$,

pa je $|AD|=24$, $|AB|+|BC|=|BC|+|DA|=49$ i $P=\frac12\cdot49\cdot24=588$.

Možemo odrediti i $|AB|=12+16=28$, $|CD|=9+12=21$.

Trigonometrija.

Znajući da je $OBC$ pravokutan trokut, možemo se poslužiti trigonometrijom.

Za kut $\alpha$ iz gornjeg rješenja vrijedi $\operatorname{tg}\alpha=\frac{|OC|}{|OB|}=\frac34$.

Slijedi $\sin\alpha=\frac35$ i $\cos\alpha=\frac45$.

Vrijedi $r=|OB|\sin\alpha=12$ i $|BC|=|OB|\cos\alpha+|OC|\sin\alpha=16+9=25$.