1. Zadatak

Neka je $n=3\sin x\in\mathbb Z$. Tada je $-3\le n\le3$, pa je $n\in\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$.

Izraz $\frac47\cos(2x)+\frac53\sin x$ tada je jednak: $$\begin{aligned} \frac47(\cos^2x-\sin^2x)+\frac53\sin x&=\frac47(1-2\sin^2x)+\frac53\sin x\\ &=\frac47\left(1-2\cdot\frac{n^2}{9}\right)+\frac53\cdot\frac n3=\frac{-8n^2+35n+36}{63}. \end{aligned}$$ Uvrštavanjem brojeva iz skupa $\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$ u posljednji izraz dobivamo da je on cijeli broj samo za $n=1$.

Iz toga zaključujemo da uvjete zadatka zadovoljavaju svi realni brojevi $x$ za koje je $3\sin x=1$, odnosno $\sin x=\frac13$ pa u zadanom intervalu $[0,2\pi]$ imamo dva rješenja: $x_1=\arcsin\frac13$ i $x_2=\pi-\arcsin\frac13$.