6. Zadatak

Prvo rješenje.

Pretpostavimo da postoji trokut s veličinama kutova $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ za koji vrijedi: $$\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta+\operatorname{ctg}\gamma=0.$$ Kako je prema adicijskom teoremu za funkciju kotangens $$\operatorname{ctg}\gamma=\operatorname{ctg}[180^\circ-(\alpha+\beta)]=-\operatorname{ctg}(\alpha+\beta)=\frac{1-\operatorname{ctg}\alpha\operatorname{ctg}\beta}{\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta},$$ množenjem s $\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta\ne0$ i sređivanjem dobivamo $$\operatorname{ctg}\alpha\operatorname{ctg}\beta+\operatorname{ctg}\beta\operatorname{ctg}\gamma+\operatorname{ctg}\gamma\operatorname{ctg}\alpha=1.$$ S obzirom da je $$\begin{aligned} (\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta+\operatorname{ctg}\gamma)^2 &=\operatorname{ctg}^2\alpha+\operatorname{ctg}^2\beta+\operatorname{ctg}^2\gamma\\ &\quad+2(\operatorname{ctg}\alpha\operatorname{ctg}\beta+\operatorname{ctg}\beta\operatorname{ctg}\gamma+\operatorname{ctg}\gamma\operatorname{ctg}\alpha), \end{aligned}$$ dobivamo da je $$\begin{aligned} \operatorname{ctg}^2\alpha+\operatorname{ctg}^2\beta+\operatorname{ctg}^2\gamma &=(\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta+\operatorname{ctg}\gamma)^2\\ &\quad-2(\operatorname{ctg}\alpha\operatorname{ctg}\beta+\operatorname{ctg}\beta\operatorname{ctg}\gamma+\operatorname{ctg}\gamma\operatorname{ctg}\alpha)\\ &=0^2-2\cdot1=-2. \end{aligned}$$ Kako suma kvadrata tri realna broja ne može biti negativna zaključujemo da ne postoji trokut čije veličine kutova zadovoljavaju zadanu jednadžbu.

Drugo rješenje.

Koristeći standardne oznake, iz poučka o sinusu i kosinusu imamo: $$\sin\alpha=\frac a{2R}\quad\text{i}\quad\cos\alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc},$$ odakle je $$\operatorname{ctg}\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac R{abc}(b^2+c^2-a^2).$$ Analogno dobivamo i $$\operatorname{ctg}\beta=\frac R{abc}(c^2+a^2-b^2),\qquad\operatorname{ctg}\gamma=\frac R{abc}(a^2+b^2-c^2),$$ odakle slijedi $$\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta+\operatorname{ctg}\gamma=\frac R{abc}(a^2+b^2+c^2).$$ Desna strana prethodne jednakosti je očito pozitivni broj pa zaključujemo da ne postoji trokut kojem je suma kotangensa jednaka nuli.