3. Zadatak

Označimo s $P$ i $Q$ redom polovišta krakova $BC$ i $AD$.

Pokažimo da je četverokut $ABNM$ tetivan. Budući da je

$$\angle MQN=\angle NPM=90^\circ,$$

četverokut $MNPQ$ je tetivan. Zato je

$$\angle PQM+\angle MNP=180^\circ.$$

Dužina $QP$ je srednjica trapeza $ABCD$, stoga je paralelna s $AB$. Odavde slijedi $\angle MAB=\angle DQP$. Sada možemo zaključiti

$$\angle MAB=\angle DQP=180^\circ-\angle PQM=\angle MNP=180^\circ-\angle BNM,$$

iz čega slijedi da je četverokut $ABNM$ tetivan.

Analogno se pokazuje da je četverokut $MNCD$ tetivan. Ovime smo pokazali da je dužina $MN$ zajednička tetiva kružnica opisanih trokutima $ABN$ i $CDM$. Stoga pravac $O_1O_2$, određen središtima opisanih kružnica, prolazi polovištem dužine $MN$.