1. Zadatak

Svaki prirodan broj i zbroj njegovih znamenaka daju isti ostatak pri dijeljenju s $9$. Stoga brojevi $a$, $b$ i $a+b$ daju isti ostatak kao $n$. Iz jednakosti ostataka za $a$ i $a+b$ slijedi da je $b$ djeljiv s $9$, a iz jednakosti ostataka za $b$ i $a+b$ slijedi da je $a$ djeljiv s $9$. Zato je i $n=S(a)$ djeljiv s $9$.

Obratno, neka je $n=9k$ za neki prirodan broj $k$. Uzmimo

$$a=\overline{18\ldots18},\qquad b=\overline{72\ldots72},$$

gdje svaki zapis ima $2k$ znamenaka. Tada je

$$a+b=\overline{90\ldots90},$$

pa je

$$S(a)=S(b)=S(a+b)=9k=n.$$

Traženi su, dakle, upravo svi pozitivni višekratnici broja $9$.